domingo, 31 de enero de 2010

Un cuadrado con cuatros y ochos

Enunciado

Me ha parecido muy interesante el comentario de Alex en la entrada del enunciado, ya que es un método que no se me había ocurrido.

El método más directo, evidentemente, es empezar a manipular los números más bajos. Para eso, si no te permiten el uso de calculadora, sería bueno recordar el algoritmo de la raíz cuadrada, o bien probar por tanteo (no se tarda mucho en ir obteniendo todas las cifras).

Así, comprobamos que 49 es el cuadrado de 7, 4489 es el cuadrado de 67 y 444889 es el cuadrado de 667. ¿Cómo demostrarlo en el caso general?

Supongamos que no queremos usar la inducción. Entonces, necesitamos estudiar cuánto da el número compuesto de n - 1 seises y un 7 en el último lugar, tanto cuando lo multiplicamos por 6 como cuando lo multiplicamos por 7. Multiplicar por 6 es sencillo. Se obtiene un 2 como última cifra y me llevo 4 decenas. Observa que cada vez que multiplique por 6 da 36, más 4 unidades que me llevo del resultado anterior, por lo que da 40, es decir, un 0 y me llevo 4 unidades. Eso sucederá con los n - 1 6, por lo que tendré un 4, n - 1 ceros y un 2 solitario al final. Multiplicar por 7 es muy similar, y proporciona un 4, n - 1 seises y un 9 al final.

Ahora, hemos de sumar todos los resultados parciales para averiguar qué resultado obtenemos cuando multiplicamos el número compuesto de n - 1 seises y un 7 en el último lugar por sí mismo. Evidentemente, la cifra de las unidades la obtendremos únicamente del producto por 7 y será un 9. Este producto por 7 proporciona n - 1 seises, que se añadirán a todos los 2 que proporcionan los productos por 6, pero no sumarán nada más pues estarán alineados con los n - 1 ceros que proporciona este producto, por lo que obtendremos un 8. A partir de la posición n, obtendremos cuatros, puesto que sumaremos la primera cifra de cada resultado parcial sumada a los ceros que proporcionan los otros, por lo que el resultado será el número pedido (n cuatros, n - 1 ochos y un nueve).

La verdad es que no resulta muy claro expresado así, de forma que lo haré por inducción. Está claro que para pasar de un número compuesto por n - 1 seises y un 7, al siguiente, podemos multiplicarlo por 10 y restarle 3. Se puede deducir que para obtener el valor siguiente, a partir de un número formado por n cuatros, n - 1 ochos y un 9, es necesario multiplicarlo por 100 y restarle un número formado por un 4, n - 1 ceros y dos unos. Si suponemos que para el valor n el cuadrado del número X formado por n - 1 seises y un siete coincide con el número Y formado por n cuatros, n - 1 ochos y un nueve, vemos si sigue dándose esta relación para el número siguiente.

El número siguiente sería 10X - 3, y su cuadrado sería 100X2 - 60X + 9, según el cuadrado de la suma. Evidentemente, 100X2 es el resultado de multiplicar por 100 el número Y formado por cuatros, ochos y un nueve. Basta entonces ver que 60X - 9 es el número que necesitamos, formado por un 4, n - 1 ceros y dos unos. Evidentemente, 6X es, como hemos visto, un número formado por un 4, n - 1 ceros y un 2, por lo que 60X estará formado por un 4, n - 1 ceros y un 2 y un cero. Restarle 9 es exactamente lo que nos falta para lograr el número que necesitamos.

Si conocemos los símbolos de sumar series (Σ) y que las cifras de un número van en realidad multiplicadas por potencias sucesivas de 10, podríamos dar a las demostraciones mejor apariencia y rigor.

sábado, 30 de enero de 2010

Área entre dos arcos

Enunciado

área entre dos arcos

área entre dos arcos

Lo primero que se debe hacer en un problema de este tipo es, como sabemos que el área sólo depende de un parámetro (el radio), trabajar con un radio fijo igual a 1. Si el radio al final es R, bastará multiplicar lo que hayamos calculado por el factor de escala R para obtener el resultado en general. Bueno, como es un área, tendremos que multiplicar por R2.

Ahora, trazamos el dibujo, dejando dibujados los radios a los centros y a los puntos de intersección. En este caso, el dibujo desvela enseguida cómo hemos de verlo. Se trata de un área formada por dos triángulos equiláteros de lado 1 (o R, si no hemos hecho la reducción oportuna), y cuatro segmentos circulares (en el dibujo hay uno naranja) que cubren un arco desde el centro de las circunferencias de 60 grados, ya que coinciden con el ángulo del triángulo equilátero.

El área del segmento circular hace falta calcularla, de forma que construimos un sector circular uniendo temporalmente el segmento circular y el triángulo equilátero, y después lo restaremos.

El área de todo el círculo es π, por lo que el área del sector será π/6.

El área de cada triángulo equilátero, puesto que su lado es 1, y la mitad es 1/2, su altura medirá, por el Teorema de Pitágoras, √(3)/2, y su área √(3)/4.

Por tanto, el área de un segmento circular es π/6 - √(3)/4. Puesto que son 4, eso hace un total de 2π/3 - √(3). Si añadimos el área de los dos triángulos equiláteros será un total de 2π/3 - √(3) + √(3)/2 = 2π/3 - √(3)/2, que vale aproximadamente 1,228369263.

En realidad, la fórmula será R2*(2π/3 - √(3)/2).

Otra manera de calcularlo es sumar cuatro sectores circulares y restarles dos triángulos equiláteros.

domingo, 24 de enero de 2010

Medias de los espectadores

Enunciado

Este es el típico ejercicio que se puede hacer mediante álgebra, esa decir, con una incógnita y ecuaciones, sin darle muchas vueltas. Lluís nos ha puesto un ejemplo en los comentarios de cálculo directo.

Sin embargo, también se puede hacer razonando sobre el concepto de media. Si la media durante cuatro días es de 325, eso significa que la suma total de espectadores de los cuatro días da el mismo resultado que si cada día hubiese 325, es decir, 325*4 = 1300.

Si el quinto día, la cifra aumenta un 20%, es decir, una quinta parte, o 325/5 = 65 espectadores, eso significa que la suma de los cinco días será equivalente a que haya habido 390 espectadores los cinco días.

Por tanto, el último día han venido 390 más los 65 de más que hay que poner todos los restantes días, es decir, 390 + 65*4 = 650. Si ha sido una sesión completa, ese número será la capacidad de la sala.

jueves, 21 de enero de 2010

Partiendo el reloj

Rectas que se cortan

Rectas que se cortan

Rectas que no se cortan

Rectas que no se cortan

Enunciado

Como ya anticipa Lluís en los comentarios, la clave de este problema es ver en cuántos trozos pueden dos rectas dividir al reloj.

He puesto aquí dos imágenes de ejemplo para que entendáis cómo dos rectas, según que se corten o no, dividen en tres o cuatro partes a la circunferencia.

Una vez que eso se ha estudiado, hay que sumar los números del reloj, lo que resulta 1 + 2 + 3 + ... + 12 = 78, que es divisible entre 3 pero no entre 4. De aquí se deduce que las dos rectas no se deben cortar, y que cada parte debe sumar exactamente 78/3 = 26.

Al menos una de las partes debe tener los números consecutivos, así que debemos estudiar qué números entre 1 y 12 pueden sumar 26 con los números inmediatamente consecutivos.

Con 1 no funciona, pues salta del 21 al 28. Tampoco 2, que va del 20 al 27, ni 3, del 25 al 33. Si empezamos por 4, podemos conseguir el 22 o el 30, pero ninguno intermedio.

Empezando por el 5, conseguimos 26 con el 6, 7 y 8.

Es fácil comprobar que tampoco se consigue nada empezando con 6, 7, 8 , 9 o 10, y con 11 sólo podemos conseguir 21.

Reloj partido

Reloj partido

Por tanto, una de las secciones separa los números de 5 a 8 en una zona. Ahora, los restantes números los debemos dividir de forma que ambos grupos sumen lo mismo (26), empezando por 4 o por 9, por ejemplo. Así, si separamos sólo el 4, con los posteriores a 9 hemos de sumar 22 y no podemos. Si usamos 4 + 3 = 7, tenemos que sumar 19 con números a partir del 9, y usaremos, claro está, el 9 y el 10. No hay más maneras de conseguirlo, ya que 4 + 3 + 2 = 9 y 4 + 3 + 2 + 1 = 10, ninguno de los cuales sirve, y aunque usáramos los números anteriores a 1 (12, 11, ...) tampoco conseguimos 26 (10 + 12 = 26, 10 + 12 + 11 = 35).

Entonces está claro que lo dividiremos con líneas que pasan una de ellas entre el 2 y el 3 y entre el 11 y el 10, que dejan una parte del reloj donde están 11 + 12 + 1 + 2 = 26, y la otra entre el 4 y el 5 y entre el 8 y el 9, de forma que en una sección están 3 + 4 + 9 + 10 = 26 y en la otra 5 + 6 + 7 + 8 = 26.

jueves, 14 de enero de 2010

Desigualdad cuadrática

Enunciado

Antes de responder a esta pregunta, debo decir que la complejidad de este problema me ha hecho retrasar la publicación de nuevos problemas en el blog. La organización que propone los ejercicios da una solución oficial, pero no me acababa de convencer y he estado bastante rato adaptándola.

Entiendo que aún es complicada, pero no encuentro una manera más sencilla de abordar esta desigualdad, así que empezamos con una introducción general.

En primer lugar, cuando nos lanzamos a trabajar con desigualdades, hay que conocer algunas de las más notables, para usarlas como ejemplos y como resultados parciales. en la dirección del Rincón Matemático que indico, podemos encontrar un estudio bastante detallado que aconsejo revisar.

La desigualdad más conocida y útil en este contexto es la de las medias aritméticas y geométricas, que expresada con tres números, indica que, siempre que sean positivos, la raíz cúbica del producto de tres números siempre es menor o igual que su media aritmética. En este caso resulta poco útil, aunque salga el producto de los tres.

La otra desigualdad, clave en este problema es la de las medias potenciales. Si tenemos un número distinto de cero p, la media potencial de grado p de tres números sería ((ap + bp + cp)/3)(1/p). En particular, si p es 1, se trata de la media aritmética, si es -1, se llama media armónica, y si p es 2, media cuadrática. Pues bien, si tenemos dos medias potenciales de grados p y q, y p es menor que q, la media potencial de grado p es menor que la de orden q. Además, todas las medias potenciales de grado negativo son menores que la media geométrica, y las de grado positivo son todas mayores.

Para acabar este repaso, hay una desigualdad sumamente interesante, que dice que, puesto que la media armónica de tres números es menor que la media aritmética, se tiene que, para tres números cualesquiera, ((x-1 + y-1 + z-1)/3)-1 ≤ (x + y + z)/3.

Vamos al tema que nos ocupa. Puesto que los elementos de la desigualdad que queremos demostrar son parecidos a una media potencial de orden 2, la convertimos en esa media, de forma que la expresión (a/(1 + ab))2 + (b/(1 + bc))2 + (c/(1 + ca))2 ≥ 3/4 es equivalente a ((a/(1 + ab))2 + (b/(1 + bc))2 + (c/(1 + ca))2)/3 ≥ 1/4. Puesto que ambos números son positivos, esto es equivalente a la desigualdad que resulta de sacar la raíz a ambos extremos, de forma que deberemos probar que √(((a/(1 + ab))2 + (b/(1 + bc))2 + (c/(1 + ca))2)/3) ≥ 1/2.

Ahora que tenemos una desigualdad equivalente que es una media cuadrática (potencial de grado 2), sabemos que esa desigualdad es mayor o igual que la media aritmética (potencial de grado uno), de forma que ese primer término podemos demostrar que es mayor o igual que (a/(1 + ab) + b/(1 + bc) + c/(1 + ca))/3. Si conseguimos demostrar que esa expresión es mayor que 1/2 tendremos concluido el razonamiento.

Si hacemos pruebas con números concretos veremos que siempre se da esa expresión, así que parece probable que sea. Sin embargo la expresión no tiene una forma sencilla de transformarla en una media armónica o aritmética. Si utilizamos la condición de que abc = 1, podemos quitar una variable. No conviene hacerlo, porque en ese caso rompemos la simetría que tenemos, pero es la forma más directa que se me ocurre, después de haber probado muchas. La verdad es que se me ocurrió después de substituir una letra por una cantidad fija y buscar la forma de que apareciese una media armónica.

Supongamos que quitamos la c, haciendo que c = 1/ab. La expresión queda (a/(1 + ab) + b/(1 + 1/a) + (1/ab)/(1 + 1/b))/3 = (a/(1 + ab) + ab/(a + 1) + 1/(ab + a))/3. Observa la aparición reiterada de los términos a, ab y 1 en denominadores y numeradores. Después de darle muchas vueltas a la fórmula, observé con cierta sorpresa que (a + ab + 1)*(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) = a/(1 + ab) + ab/(a + 1) + 1/(ab + a) + 3, ya que basta aplicar la propiedad distributiva, es decir, hacer el producto y agrupar los términos semejantes.

Aquí tenemos la clave de la demostración, ya que (a/(1 + ab) + ab/(a + 1) + 1/(ab + a))/3 = ((a + ab + 1)*(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) - 3)/3. Ahora sí podemos aplicar la desigualdad de la media armónica, ya que 1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a) es la suma de esos tres números elevados a -1. Lo que dice esta desigualdad es que ((1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a))/3)-1 ≤ (1 + ab + a + 1 + ab + a)/3, es decir, que 3/(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) ≤ 2*(1 + ab + a)/3. Invirtiendo ambas expresiones (ambos números son positivos), obtenemos que (1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a))/3 ≥ 3/(2*(1 + ab + a)), es decir, que 1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a) ≥ 9/(2*(1 + ab + a)).

Por lo tanto la expresión anterior, ((a + ab + 1)*(1/(1 + ab) + 1/(a + 1) + 1/(ab + a)) - 3)/3 es mayor o igual que ((a + ab + 1)*(9/(2*(1 + ab + a))) - 3)/3 = (9/2 - 3)/3 = (3/2)/3 = 1/2, que es exactamente lo que pretendíamos demostrar. Además, la desigualdad se cumple si a = b = c = 1.

jueves, 7 de enero de 2010

Polígonos con ángulos enteros

Enunciado

En los polígonos regulares, por su simetría, existe un centro desde el que se pueden trazar segmentos iguales a todos sus vértices (radios del polígono).

Estos radios, que serán tantos como lados y vértices tenga el polígono, dividen al ángulo de 360 grados (completo) central en fragmentos iguales, y forman, junto con los lados, triángulos isósceles.

Si el número de lados es n, el ángulo central del triángulo será 360/n, y, puesto que tiene que sumar 180 con los otros dos, ambos sumarán 180 - 360/n.

Coincide que la suma de dos de estos ángulos es, precisamente, el ángulo que forma cada lado del polígono con el lado adyacente. Por lo tanto, sólo será una cantidad entera de grados si 360/n lo es.

Como el número de lados debe ser al menos 3, y 3 divide a 360, el triángulo será el primero. El ángulo será 180 - 120 = 60.

También 360/4 es un número entero, por lo que en el cuadrado tendremos 180 - 360/4 = 90.

Como 360/5 es 72, en el pentágono 180 - 72 = 108.

Está claro que 360/6 = 60, por lo que en el hexágono 180 - 60 = 120.

El siguiente polígono es el octógono, ya que 360/8 = 45, y el ángulo es 180 - 45 = 135.

En el eneágono, 180 - 360/9 = 140.

En el decágono, 180 - 360/10 = 144.

En el dodecágono, 180 - 360/12 = 150.

En el polígono regular de quince lados, 180 - 360/15 = 156.

En el de 18, 180 - 360/18 = 160.

En el de 20, 180 - 360/20 = 162.

En el de 24, 180 - 360/24 = 165.

En el de 30, 180 - 360/30 = 168.

En el de 36, 180 - 360/36 = 170.

En el de 40, 180 - 360/40 = 171.

En el de 45, 180 - 360/45 = 172.

En el de 60, 180 - 360/60 = 174.

En el de 72, 180 - 360/72 = 175.

En el de 90, 180 - 360/90 = 176.

En el de 120, 180 - 360/120 = 177.

En el de 180, 180 - 360/240 = 178.

Y, por supuesto, el de 360 lados, 180 - 360/360 = 179.

domingo, 3 de enero de 2010

Capicúas en base 3

Enunciado

Prácticamente Lluís da una respuesta muy bien razonada, aunque no totalmente válida en los comentarios del enunciado, pero voy a explicarlo un poco.

La idea es que, si escribes todos los enteros en base 3 hasta el 2009 (que se escribe 2202102 en base 3), tendremos todos lo números de una, dos, tres y hasta de seis cifras, y la mayoría de siete.

Habitualmente, el cero no se considera entero positivo, de forma que normalmente no se suele contar con él, aunque podría hacerse, y entonces contaríamos uno más, pues es capicúa de forma trivial, ya que consta de una única cifra.

Los otros dos números de una cifra son capicúas de la misma forma, ya que al leerse al revés son ellos mismos.

Los de dos cifras capicúas tienen las dos iguales, así que únicamente tenemos al 11 y al 22 (el 00 no cuenta como de 2 cifras).

Los de tres cifras capicúas tienen la primera cifra y la última igual, y la del centro da igual, de forma que la primera puede ser 1 o 2, y la del centro puede ser 0, 1 o 2, de forma que tenemos 2*3 = 6 posibilidades.

Los de cuatro cifras capicúas, se pueden escribir conociendo las dos primeras cifras, o las dos últimas. Como la primera debe ser distinta de cero, tenemos dos posibilidades, y otras tres para la segunda, de nuevo 2*3 = 6 posibilidades.

Los de cinco cifras capicúas tienen tres números elegibles. El primer número puede ser 1 o 2, el segundo puede ser cualquiera de los 3 (0, 1 o 2) y también el tercero. El cuarto y el quinto número vienen determinados por los dos primeros. Hay, por tanto, 2*3*3 = 18 diferentes.

Los de seis cifras capicúas tienen tres números elegibles. El primer número puede ser 1 o 2, el segundo puede ser cualquiera de los 3 (0, 1 o 2) y también el tercero. El cuarto, el quinto y el sexto número vienen determinados por los tres primeros. Hay, por tanto, 2*3*3 = 18 diferentes, de nuevo.

Ahora, para los de 7 cifras, hay que tener cuidado, pues deben ser menores que 2202102. Así, tendremos todos excepto los que empiezan por 221 y por 222, sea cual sea su cuarta cifra. Son un total de 2*3 = 6. Como podemos elegirlos con dos posibilidades para la primera cifra, tres para la segunda, la tercera y la cuarta, habrá un total de 2*3*3*3 = 54 capicúas de siete cifras, de los que habremos escrito 48 = 54 - 6.

Por tanto, en la lista que habremos escrito habrá un total de 48 + 18 + 18 + 6 + 6 + 2 + 2 = 100 números capicúas diferentes entre los 2009 primeros en base 3 (101 si contamos el cero).

viernes, 1 de enero de 2010

Pintando juntos

Enunciado

Como ya han comentado varios usuarios, la clave es entender cuánto pintan en el mismo tiempo.

Puesto que Pau pinta una pared en tres horas, y Joana en seis, pensemos que dividiéramos esas paredes en una cantidad que fuese múltiplo de ambas cantidades, por ejemplo, en seis pedazos.

Ahora podemos entender que Pau pinta dos pedazos por hora, y Joana sólo uno, por lo que en una hora entre los dos pintan tres pedazos (dos pau y uno Joana).

Como las tres paredes están compuestas de 18 pedazos, tardarán 6 horas en pintarlos todos, de tres en tres. Al final, Pau habrá pintado 2*6 = 12 pedazos, es decir, dos de las paredes, mientras que Joana sólo habrá pintado una pared, o seis pedazos.