miércoles, 22 de febrero de 2012

Cuadriláteros especiales

Enunciado

Cuando sabes qué buscas, se trata de un problema de poca dificultad, sin embargo, en este caso, se complica extraordinariamente porque no sabes qué es lo que estás buscando.

Voy a tratarlo en principio con un poco de geometría analítica, combinada con algo de imaginación.

Supongamos que pones el centro de coordenadas en el punto P, y el primer vértice, A, sobre la parte positiva del eje x, a una distancia a del punto p (podríamos suponer que la distancia es 1 ajustando la unidad de medida, pero no es necesario).

Si situamos ahora el punto B, debe tener coordenada vertical negativa (por convexidad) -b, y el área del triángulo APB será ab/2.

Ahora, el punto D debe tener coordenada vertical positiva, y debe coincidir con b por la igualdad de áreas entre APB y APD.

Esto significa que el punto medio entre B y D debe caer sobre la recta PA. De la misma forma, el punto medio entre A y C debe caer sobre la recta PB.

Si el punto medio entre B y D no es exactamente P, eso significa que C está sobre una paralela a BP a la misma distancia que A, y sobre una paralela a DP a la misma distancia que A, con lo que sólo puede ser un punto: el simétrico de A respecto a P.

Dicho de otra forma: P es el punto medio de la diagonal AC, y el punto medio de la diagonal BD está sobre la recta AC.

Observa que si el punto medio entre B y D es precisamente P, tenemos una situación análoga.

Es decir, para que se dé la circunstancia pedida, las diagonales se deben cortar en el punto medio de una de ellas, y el punto P es el punto medio de la otra diagonal (no el punto de corte). Si se trata de un paralelogramo (se cortan por el punto medio de ambas), P es ese punto medio.


viernes, 17 de febrero de 2012

El DNI en Torrelandia

Enunciado

Busquemos todas las soluciones posibles. Como el número, cada vez que lo recortemos para tener dos, cuatro, seis y ocho dígitos, es divisible por un número par, los únicos cuatro posibles dígitos pares (2, 4, 6, 8) ocupan esas posiciones, mientras que los cinco restantes ocupan las posiciones impares. Por las mismas razones, el quinto dígito no tiene más remedio que ser el cinco.

Para los dos primeros números tenemos, por tanto, 16 posibilidades: 12, 14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 72, 74, 76, 78, 92, 94, 96 y 98.

La tercera cifra debe ser impar, y sumar un múltiplo de 3 con las dos primeras. Así, algunas posibilidades quedan eliminadas, y otras tienen dos opciones: 123, 129, 147, 183, 189, 321, 327, 369, 381, 387, 723, 729, 741, 783, 789, 921, 927, 963, 981 y 987.

Si nos fijamos en que el número siguiente debe ser múltiplo de 4, sólo puede ser 2 o 6, por lo que casi duplica las posibilidades: 1236, 1296, 1472, 1476, 1832, 1836, 1892, 1896, 3216, 3276, 3692, 3812, 3816, 3872, 3876, 7236, 7296, 7412, 7416, 7832, 7836, 7892, 7896, 9216, 9276, 9632, 9812, 9816, 9872 y 9876.

El siguiente está claro que es un 5, y el siguiente número par debe sumar también un múltiplo de 3. Las posibilidades son 123654, 129654, 129654, 147258, 183654, 189654, 321654, 327654, 369258, 381654, 387654, 723654, 729654, 741258, 783654, 789654, 921654, 927654, 963258, 981654 y 987654.

Ahora, vamos a usar nuestra calculadora, para ir dividiendo entre 7 y calcular cuál ha de ser la cifra siguiente, para conseguir que sea divisible entre siete. Observa que esto es más difícil de lo que parece, porque debe ser un número impar diferente de 5 y que no esté repetido. Sólo quedan las siguientes posibilidades: 1296547, 1296547, 1472583, 3216549, 3816547, 7296541, 7836549, 9216543 y 9632581.

Ahora, necesitamos un dígito más, que haga que el resultado sea múltiplo de 8. En realidad, basta que, como antes, usemos el 2 y el 6. Siempre y cuando no estén repetidos, claro. Sólo nos queda 38165472. Ahora bien, el último número es fácil de poner, el que falta, ya que siempre sumará lo mismo y será un múltiplo de 9, en definitiva, 381654729.

Posiblemente nos habríamos ahorrado mucho trabajo si hubiésemos notado que el 2 y el 6 deben estar en las posiciones 4 y 8.

domingo, 5 de febrero de 2012

Números Elegantes

Enunciado

La clave es encontrar una primera pareja de números elegantes consecutivos, como por ejemplo 31 y 32, ya que 31 nos lleva a 9 + 1 = 10, y 10 nos lleva a 1 + 0 = 1, que es nuestro objetivo, mientras que 32 nos lleva a 9 + 4 = 13, 13 nos lleva a 1 + 9 = 10 y 10 de nuevo nos lleva a 1.

Una vez obtenida esta pareja, como la solución pide que encontremos infinitas y sólo depende de la suma de los cuadrados de sus cifras, bastará rellenar con ceros para encontrar una infinidad: 301 y 302, 3001 y 3002, etcétera. En general, 3*10n + 1 y 3*10n + 2.

Por supuesto, no es el único método, ya que con cualquier pareja consecutiva que encontremos podemos crear una familia de este tipo.

viernes, 3 de febrero de 2012

Escalera de cubos

Enunciado

Como mínimo, para hacer este tipo de problema hay que tener una pequeña idea de las fórmulas de progresiones aritméticas, o bien algo de intuición para manejar bien la situación.

Empezaremos a contar los pisos desde el superior, así, cada piso que añadimos en realidad sólo añade los cubos de "abajo".

Si contamos las caras que miran "hacia arriba", vemos que cada piso hay dos más que en el anterior, excepto en el primero, que hay sólo una. con 4 pisos hay 7, con 10 habrá 19 (2*10 - 1).

Ahora, contemos las que miran hacia la derecha. Por la simetría del dibujo, vemos que son las mismas que las que miran hacia la izquierda, por lo que si contamos una contamos la otra. En realidad, vamos sumando 1 + 2 + 3 + 4 en el caso de los 4 pisos, lo que hace un total de 10 (por eso hay un total de 10 + 10 + 7 = 27 caras visibles).

Para contar en el caso de los 10 pisos, tenemos que sumar 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. Esto no es difícil de hacer (55), pero (y aquí es donde podemos usar el conocimiento de progresiones) si hay que sumarlo dos veces, podemos emparejar la suma de forma invertida, es decir, 1 + 10 + 2 + 9 + 3 + 8 + 4 + 7 + 5 + 6 + 6 + 5 + 7 + 4 + 8 + 3 + 9 + 2 + 10 + 1, y obtenemos diez parejas que suman 11, lo que es muy fácil de calcular: 110.

En total, el número de caras visibles será de 129, si no he cometido ningún error.