martes, 19 de marzo de 2013

El año 2012

Enunciado

La serie que piden en el primer apartado es 2012, 9, 81, 65, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,... y así sucesivamente, es decir, que a partir del décimo primer número, el 89, comienza una repetición de 8 números que siempre serán idénticos en su valor y posición.

Evidentemente, la posición 2012 la ocupará el mismo número que la 2004, ya que se repiten de ocho en ocho, así que viendo que podemos restar cualquier múltiplo de 8, podemos llegar a que este número es el mismo que ocupa la posición 404, o que el que ocupa la posición 12, que es el 145. Esto es así porque 12 - 2012 = 2000, que es un múltiplo de 8.

En el segundo apartado, encontramos un problema muy diferente. Hay que contar de forma eficaz grupos de números. Además de hacerlo de la forma tradicional, que nos llevará un buen rato, podemos aplicar un poco de ingenio, tratando de sumar rápidamente. Al fin y al cabo, se trata de sumar 1 + 2 + 3 + 4 + ..., aumentando el resultado hasta llegar cerca del 2012.

Para sumar este tipo de sumas, conviene ordenarlas de 2 en 2, empezando por primero y último, y segundo y penúltimo, y así sucesivamente. De esta forma, nos damos cuenta de que se trata de sumar números iguales. Por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1 + 6 + 2 + 5 + 3 + 4 = 7 + 7 + 7 = 3*7 = 21.

Este método sólo vale para valores pares, pero nos permitirá llegar a valores muy altos rápidamente. De esta forma, escribir hasta el 8 da 9*4 = 36, hasta el 10, 11*5 = 55 y así sucesivamente. Para llegar a las proximidades de 2000 necesitamos avanzar hasta el 60 (61*30 = 1830), y de ahí, pasamos al 62 (63*31 = 1953). Añadir los 63 números 63 nos llevará hasta la posición 1953 + 63 = 2016, por lo que el que ocupa la posición 2012 será con seguridad un 63.


6 comentarios:

Anónimo dijo...

el razonamiento está bien no así la solucion pues al Nro 65 no le puede seguir el 41

Anónimo dijo...

En la segunda parte tambien la solucion es un 3 no un 63 pues es la posicion 2012 y al ser par es un 3 la solucion es mas simple si aplicamos la formula de la suma de los n primeros numeros naturales n(n+1)/2
jjm

Anónimo dijo...

ahora si consideramos los digitos a partir del número 10 los digitos se duplican y la serie solo llegaria hasta el 45 y al lugar 2012 le corresponderia un 4 por ser par
jjm

Marcelo dijo...

Creo que hay una equivocación en la sucesión. la repetición comienza desde el número 37

2012
9
81
65
61
37
58
89
145
42
20
4
16
37

Marcelo dijo...

Creo que hay una equivocación en la sucesión, comienza un ciclo entre los 37:
2012
9
81
65
61
37
58
89
145
42
20
4
16
37

Henry dijo...

El termino 2012 es 16