Páginas de un libro

Enunciado

Hay una forma de solucionar el problema muy sencilla, aunque algo larga de llevar a cabo.

La idea es sumar los números empezando por el 1 (1 + 2 = 3, 1 + 2 + 3 = 6, ...), obteniendo los llamados números triangulares, hasta llegar a sobrepasar el 2013. El exceso desde 2013 será el número de página que nos hemos dejado.

A partir de aquí, para estudiar si hay más soluciones, probar si al añadir alguna página más podemos llegar a otro valor que pudiésemos alcanzar también con una única página, aunque es claro que no, ya que a un valor mayor que 2013 le añadiremos el número de la última página del libro, y el resultado, por tanto, guardará una distancia con 2013 más grande que el número de la última página del libro.

Pero sumar hasta 2013 no es una tarea fácil, para abreviarla, podemos usar un truco muy sencillo, ya que sumar 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 15, por ejemplo, es igual que sumar 15 + 14 + 13 + ... + 1, y si emparejamos los sumandos, todos dan 16 (1 + 15, 2 + 14, 3 + 13, etc). Eso significa que sumar 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 15 es lo mismo que multiplicar 16*15 y dividirlo por 2, ya que lo estaremos sumando dos veces.

Es decir, que podemos hacer una fórmula para sumar los n primeros números con una multiplicación y una división, n*(n + 1)/2. Así podremos sumar más rápidamente, o empezar tanteando números altos, como 40 o 60, y sumando a partir de ahí

Incluso, si hemos estudiado ya ecuaciones de segundo grado, observamos que si queremos que n*(n + 1)/2 = 2013 (en realidad, queremos que sea mayor, lo que pasará para valores aún más grandes de n), tenemos que n*(n + 1) = 4026, por lo que n² + n - 4026 = 0, y de aquí tendremos que n debe valer, con la fórmula de la ecuación de segundo grado, (-1 + √(1 + 4*4026))/2 = (-1 + √(1 + 16104))/2 = (-1 + √(16105))/2. Calcular la raíz exacta es complicado, pero estaría por encima de 120, por lo que el valor de n sería superior a 61.

Tanteando, obtenemos que 61*62/2 = 1891, 62*63/2 = 1953, 63*64/2 = 2016, de forma que el número de páginas sumadas será 63, y la página que se ha dejado es la tercera, ya que ha obtenido una cifra tres unidades menor.

Evidentemente, si tuviese una página más, la suma debería dar 2080, y no es posible que Sofía obtenga 2013 olvidando una única página, ya que hay una diferencia de 67 y la página mayor tiene el 65.

Como siempre, la solución de Pablo Sussi es correcta, aunque comenta que el libro debería tener un número par de páginas. Tal vez la última estaba sin numerar, pero era más importante que la suma coincidiese con el año en que se hace la pregunta que el resultado sea tan meditado.