martes, 19 de marzo de 2013

El año 2012

Enunciado

La serie que piden en el primer apartado es 2012, 9, 81, 65, 41, 17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89,... y así sucesivamente, es decir, que a partir del décimo primer número, el 89, comienza una repetición de 8 números que siempre serán idénticos en su valor y posición.

Evidentemente, la posición 2012 la ocupará el mismo número que la 2004, ya que se repiten de ocho en ocho, así que viendo que podemos restar cualquier múltiplo de 8, podemos llegar a que este número es el mismo que ocupa la posición 404, o que el que ocupa la posición 12, que es el 145. Esto es así porque 12 - 2012 = 2000, que es un múltiplo de 8.

En el segundo apartado, encontramos un problema muy diferente. Hay que contar de forma eficaz grupos de números. Además de hacerlo de la forma tradicional, que nos llevará un buen rato, podemos aplicar un poco de ingenio, tratando de sumar rápidamente. Al fin y al cabo, se trata de sumar 1 + 2 + 3 + 4 + ..., aumentando el resultado hasta llegar cerca del 2012.

Para sumar este tipo de sumas, conviene ordenarlas de 2 en 2, empezando por primero y último, y segundo y penúltimo, y así sucesivamente. De esta forma, nos damos cuenta de que se trata de sumar números iguales. Por ejemplo, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 1 + 6 + 2 + 5 + 3 + 4 = 7 + 7 + 7 = 3*7 = 21.

Este método sólo vale para valores pares, pero nos permitirá llegar a valores muy altos rápidamente. De esta forma, escribir hasta el 8 da 9*4 = 36, hasta el 10, 11*5 = 55 y así sucesivamente. Para llegar a las proximidades de 2000 necesitamos avanzar hasta el 60 (61*30 = 1830), y de ahí, pasamos al 62 (63*31 = 1953). Añadir los 63 números 63 nos llevará hasta la posición 1953 + 63 = 2016, por lo que el que ocupa la posición 2012 será con seguridad un 63.


sábado, 2 de marzo de 2013

Áreas y triángulos

Enunciado

Pablo Sussi nos comenta una solución que es muy fácil de seguir. Se trata de dividir el problema en dos, trazando una recta que introduzca un triángulo intermedio. Como él propone, vamos a dibujar una recta que una un vértice del triángulo grande con uno del pequeño. Bien podría ser la otra posibilidad, y el razonamiento habría sido análogo, pero elegimos la del dibujo de la derecha.

Así, el problema lo razonaremos en dos etapas. Primero, trataremos de calcular el área del triángulo intermedio, cuya base será 5/2 de la base del pequeño, y la altura será la misma, ya que comparte vértice superior. Así, tendremos que el área del triángulo intermedio será de 20 u2.

Ahora, para comparar este triángulo intermedio con el grande, giraremos mentalmente el dibujo, hasta lograr que la base sea el lado que antes ocupaba el lugar izquierdo. Ahora, el triángulo intermedio y el mayor tendrán la altura común, y la base del mayor será 3/2 de la de el menor, por lo que su área será 3/2 de 20 = 30 u2, como afirma Pablo.

Otra manera de razonarlo, más algebraica, sin hacer ningún trazo, es observar que el área del triángulo se calcula multiplicando la base por la altura, y debido a lo que nos dice el problema, la base del triángulo mayor es 5/2 de la del pequeño y su altura, que aumenta proporcionalmente al tamaño de su lado izquierdo, es 3/2 de la del pequeño. Por eso su área será ag = (bg*hg)/2 = ((5/2)*bp*(3/2)*hp)/2 = (5/2)*(3/2)*(bp*hp)/2 = (15/4)*ap = (15/4)*8 = 30 u2, donde b, h y a representan la base, la altura y el área, respectivamente, y la g y la p representan el triángulo pequeño y el grande.