miércoles, 11 de febrero de 2015

Circunferencia entre dos rectas

Enunciado

De este problema hay numerosas soluciones. Incluyo aquí una que me ha enviado Ricard Peiró, traduciéndola del original en valenciano, ya que este blog lo consulta mucha gente castellanoparlante.

Según vemos en el dibujo, se traza la recta perpendicular a r que pasa por A, y que corta a las rectas paralelas r y s en los puntos N y M, respectivamente.

Los segmentos AN y AM son de la misma longitud, llamémosla k. Veamos que, por construcción, la distancia AP también vale k, por lo que es independiente de la elección de B, y por tanto P está sobre una circunferencia de radio k centrada en A, que es tangente a las rectas r y s.

Aplicando el teorema de la altura al triángulo ABC, que es rectángulo y está dividido por una altura, tenemos que AP2 = CP*BP.

Aplicando el teorema del cateto a cada uno de los dos catetos del triángulo ABC, AB2 = CB*BP y AC2 = CB*CP.

Dado que el ángulo CAB es recto, los ángulos NAC y MAB suman también 90 grados, por lo que los triángulos ANC y BMA son semejantes.

Aplicando proporcionalidad, tenemos que k/AC = MB/AB = √(AB2 - k2)/AB.

Por tanto, elevando al cuadrado, tenemos que k2/AC2 = (AB2 - k2)/AB2 y, puesto que ambas fracciones son iguales, también son ambas iguales a la fracción formada sumando ambos numeradores y ambos denominadores, AB2/(AB2 + AC2) = AB2/BC2.

Por tanto, k2/AC2 = AB2/BC2.

Eso significa que k2= AC2*AB2/BC2.

Según hemos visto antes, tenemos que k2 = CB*CP*CB*BP/BC2 = CP*BP = AP2, por lo que se tiene que k = AP, como queríamos demostrar.

Hay muchas otras demostraciones muy interesantes. En las soluciones oficiales podemos encontrar varias construcciones diferentes.

2 comentarios:

Laura Salamanca dijo...

Hola!!!!Como esta, por favor me podria ayudar resolviedo el siguiente enunciado: La altura del salto del Tequendama es 132m. si caldas uso la vara, que equivale aproximadamente 80 cm, la altura que el midio corresponde a _______ de la aceptada actualmente.

A. 4/3
B. 40/3
c. 3/4
D. 3/40

Quedo atenta, gracias por su atencion.

Proble Mático dijo...

Si lo midió utilizando una medida que es 4/5 del metro, en varas, debió medir 5/4 de 132, medido en varas, que son 165 varas. Ninguna de las respuestas cuadra exactamente, lo más próximo, tal y como está escrito, es 4/3, pero eso supone que la vara realmente mediría 75 cm.