Dividiendo un triángulo

Enunciado

Caso 3

Este es un problema bastante difícil (era el tercero de la primera jornada), aunque no lo parezca. Evidentemente, debemos empezar por estudiar el caso más sencillo, para lo que he hecho el dibujo que acompaña a estas líneas, el caso p=3, en el que el triángulo propuesto queda dividido en 19 partes, que se han pintado de colores para facilitar su recuento. Es evidente que el número máximo de zonas en las que queda dividido el triángulo es este, ya que no hay tres líneas que concurran en el mismo punto.

Cada línea que atraviesa el triángulo añade una región más al triángulo, si no corta a ninguna otra línea. Pero cuando pasa por un nuevo punto de corte, añade una región extra.

Dicho así, el número de regiones sería 1 + número de líneas + número de cortes entre las líneas. En nuestro caso, el número de líneas trazadas es 6 (tres lados, por dos para cada lado), y cada una de cada lado corta a las cuatro de los otros dos lados (y en cada punto de corte hay dos líneas), de forma que hay un total de 3*2*4/2 = 12 puntos de corte, lo que hace un total de 1 + 6 + 12.

El problema podría surgir si estas líneas, en algún triángulo o en todos los triángulos, concurriesen en un mismo punto, pues dificultaría enormemente el recuento de los puntos de corte. Afortunadamente, disponemos de un interesante resultado, el Teorema de Ceva, que nos facilita mucho saber si se cortan tres líneas o no. De hecho, este tipo de líneas que partiendo de un vértice llegan hasta el lado opuesto se denominan en general cevianas, ya que frecuentemente se utiliza este resultado para estudiarlas.

Dicho resultado viene como anillo al dedo para este problema, que sería mucho más difícil si no se conociese, ya que afirma que tres cevianas se cortan en el mismo punto si y sólo si se cumple que (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1, siendo X, Y y Z los puntos de corte de las cevianas que llegan respectivamente a los lados BC, AC y AB (nótese que el orden en que están tomados los cocientes es siempre circular).

En nuestro caso, conocemos estas proporciones, pues hemos dividido los lados en segmentos de proporciones fijas, es decir, que si tomamos tres de los puntos, tendremos que, independientemente de las longitudes de los lados del triángulo, los cocientes del Teorema de Ceva serían fracciones de dos números enteros que suman exactamente p. Evidentemente, una de estas fracciones debe ser irreducible, pues de tener un factor común, también lo sería de p, pero ¿podría ser que el producto de los tres cocientes fuese exactamente 1?

Caso 5

Si tenemos que los puntos en los lados están marcados con los enteros a, b y c, los cocientes serían a/(p - a), b/(p - b) y c/(p - c), y para que fuese 1 tendría que darse que abc = (p - a)(p - b)(p - c). Si desarrollamos el primer factor, tendríamos p(p - b)(p - c) - a(p - b)(p - c) = p(p - b)(p - c) - ap(p - c) + ab(p - c) = p(p - b)(p - c) - ap(p - c) + abp - abc. Observa que los primeros tres sumandos son múltiplos de p, de donde, si se despejan en un lado de la ecuación, tenemos que 2abc = p(p - b)(p - c) - ap(p - c) + abp, lo que es imposible por ser a, b, c menores que p (un primo), y ser este primo mayor que 2 (de hecho, si usásemos el primo 2, se cortan en un único punto).

Con esto, tenemos que nunca se cortan tres en un punto, luego para cualquier triángulo, nos encontraremos con que tenemos p - 1 rectas para cada lado, es decir, 3p -3 en total, y cada una de ellas corta a 2p -2, por lo que el número de cortes sería (3p - 3)*(2p - 2)/2 = (3p - 3)(p - 1). De aquí, el número de regiones sería 1 + 3p - 3 + (3p - 3)(p - 1) = 1 + 3(p - 1)*p. En el caso p = 5, podemos comprobar que el número de regiones es 61.