Apuesta arriesgada

Enunciado

En este caso, de nuevo, analizamos las diferentes opciones que tiene nuestro jugador.

Empieza con 1000 euros, y tiene 1/2 de probabilidad de perderlo, y 1/2 de conseguir 2000.

En el caso de que tenga 2000, lo apostará todo, y de nuevo tiene 1/2 de perderlo, y 1/2 de conseguir 4000.

Si tiene 4000, claro, tendrá 1/2 de probabilidad de pasar a tener 3000, y 1/2 de acabar con éxito el juego.

Por último, si juega con 3000, tendrá 1/2 de probabilidad de conseguir ganar, y 1/2 de volver a tener 1000.

Podemos hacer un sistema de ecuaciones con las probabilidades de ganar y perder a partir de cada una de las cantidades, que podemos llamar P1 a la probabilidad de ganar si tienes 1000, P2 a la probabilidad de ganar si tienes 2000, P3 a la que tienes de ganar si tienes 3000, y P4 si tienes 4000. Puesto que todas estas situaciones son inestables, excepto perderlo todo o ganar, sabemos que la probabilidad de ganar y de perder suman uno en cualquier caso.

Si nos imaginamos que repetimos la experiencia muchas veces, es fácil pensar que la mitad de los que empiezan con 1000 euros pierden, mientras que la mitad pasa a tener 2000. Por lo tanto, P1 = P2/2. De los que tienen 2000, pasa otro tanto, por lo que P2 = P4/2. De la misma forma, P4 = 1/2 + P3, y P3 = 1/2 + P1. De esta forma, tenemos un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. Eliminando primero P4, tenemos que P1 = P2/2, P2 = 1/4 + P3/4 y P3 = 1/2 + P1/2. Eliminando después P3, nos queda que P1 = P2/2 y P2 = 3/8 + P1/8, de donde P1 = 3/16 + P1/16, es decir, que 16P1 = 3 + P1, de donde P1 = 1/5.

Un razonamiento más directo sería basarse en esperanzas. Si ponemos a jugar a mucha gente en las mismas condiciones (todos con 1000€ iniciales, lo que sucede al final es que uno de cada 5 consigue el dinero y otros cuatro lo han perdido (ya que la cantidad total de dinero es la misma siempre), por lo que está claro que la probabilidad de ganar es 1/5.