Cuadrados con condiciones
La idea más eficaz consiste en tomar la ecuación n/(20 - n) = a2 y despejar n en función de a, lo que es más sencillo comprobar si es o no entero.
En efecto, podemos quitar denominadores de la ecuación n = 20a2 - a2n, situar la n en el mismo lado de la igualdad con n + a2n = 20a2 y sacar esta incógnita factor común con n(1 + a2) = 20a2, de donde la despejamos de forma que n = 20a2/(1 + a2).
Ahora, podemos tratar de dar valores a la variable a, teniendo en cuenta que, para que sea n un número entero, 1 + a2 debe ser un divisor de 20, ya que no puede dividir nunca a a2, que es una unidad inferior.
Otra forma de ver esa necesidad, alternativamente, es mediante una pequeña transformación, escribir la igualdad anterior como n = (20 + 20a2 - 20)/(1 + a2) = (20(1 + a2) - 20)/(1 + a2) = 20(1 + a2)/(1 + a2) - 20/(1 + a2) = 20 - 20/(1 + a2), donde aún se ve mejor que (1 + a2) debe ser un divisor de 20.
Puesto que todos los divisores de 20 son menores que 20, sólo hay que probar los valores de a 0, 1, 2, 3 y 4, resultando que son todos válidos excepto a = 4, es decir, que los valores válidos de n son 0, 10, 16 y 18.
Evidentemente, si probamos todos los valores de n entre 0 y 20, y comprobamos si es o no entero, también tendríamos este resultado.
1 comentario:
En olimpiadas esto se pregunta mucho.
Hay un truco mas sistematico para estos problemas en enteros:
http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Simon%27s_Favorite_Factoring_Trick
En nuestro caso:
n/(20-n) = x^2
n = x^2(20-n)
0 = x^2(20-n) - n
20 = x^2(20-n) + 20 -n <-Completamos rectangulo
20 = (x^2+1)*(20-n)
Como es una ecuacion en enteros, solo podemos tener que:
x^2+1 = 1,2,4,5,10,20
20-n = 20,10,5,4,2,1
Y se llega a lo mismo.
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