jueves, 7 de febrero de 2013

Repartiendo la tarta

Enunciado

Este es un problema en el que debemos hacer cierta investigación previa. Si hacemos cortes desde el centro, todas las figuras las podemos dividir en triángulos que tienen un vértice en el centro (puede que sean cuadriláteros, o incluso pentágonos, si abarcan dos o tres bordes, pero se pueden dividir en triángulos). Como la cantidad de tarta que tiene cada trozo depende del área de la tarta, podemos estudiar de qué depende el área de cada uno de esos triángulos.

Conociendo la forma básica y su área, que es la mitad de la base por la altura, vemos que si usamos como base del triángulo el borde, todos los triángulos tendrán la misma altura, ya que el centro del cuadrado siempre está a 15 centímetros del borde. Es decir, que el área de un triángulo central que tenga 10 centímetros de borde, tendrá de área 10*15/2 = 10*7,5, el área de un triángulo cuyo borde mida 30 centímetros será 30*15/2 = 30*7,5, el de uno que tenga 5 centímetros será 5*7,5 y así sucesivamente.

Para repartir el área de toda la tarta entre 5 comensales, como mide 900 centímetros cuadrados, cada uno deberá tomar triángulos cuya área sume 180 centímetros cuadrados, por lo que su borde debe medir 180/7,5 = 24 centímetros. Es decir, que partimos triángulos centrales con un borde total de 24 centímetros. Observa que eso equivale a repartir en realidad los 120 centímetros de borde de la tarta entre los cinco invitados. Partiendo del corte que teníamos al principio, mediremos 14 centímetros en el siguiente lado, luego uniremos los 16 restantes con 8 del último lado, luego podremos tomar todo el lado restante y dos centímetros del siguiente, y una pieza triangular que tendrá un borde de 24 centímetros del mismo lado. La pieza restante, de nuevo un cuadrilátero, tendrá 4 centímetros de este lado y 20 del mismo lado que el primero.

He puesto dos dibujos en esta solución, uno indicando varios triángulos centrales en la tarta, y otro con la división en cinco partes del mismo tamaño.

Como hemos visto, repartir la tarta en trozos del mismo tamaño (que no iguales) es equivalente a repartir el borde. Como este borde mide 120, repartirlo en partes enteras se puede hacer entre cualquier divisor de 120. El mayor, evidentemente, es el propio 120, pero en ese caso saldrían trozos con un ridículo borde de 1 centímetro.




4 comentarios:

juan g dijo...

si lo resolví! solo una pregunta, en su explicación donde divide 180/7.5 =24,se que 180 es el área de cada triangulo, y el 7.5 debe ser la altura entre 2, pero porque?? cual es la formula? o fundamentos? quisiera saber porque es una buena forma y mas rápida que con la que lo resolví yo, disculpe la ignorancia soy un estudiante

juan g dijo...

si lo resolví! solo una pregunta, en su explicación donde divide 180/7.5 =24,se que 180 es el área de cada triangulo, y el 7.5 debe ser la altura entre 2, pero porque?? cual es la formula? o fundamentos? quisiera saber porque es una buena forma y mas rápida que con la que lo resolví yo, disculpe la ignorancia soy un estudiante

Proble Mático dijo...

Porque cada área se multiplica la longitud del borde por 15/2, es decir, por 7,5. Eso significa que si quieres tener un área determinada, puedes saber el borde que le corresponde dividiendo por 7,5.
¿Lo entiendes?

Anónimo dijo...

juan , es la formula para calcular el area de los triangulo b·a/2 , en este caso la altura va a ser siempre 15 y por ello simplificamos dividiendolo entre 2 y da b·7,5 y el 24 de la base sale dividiendo el perimetro entre 5