Desigualdad entre cuadrados
Efectivamente, según publican algunos seguidores, es una aplicación trivial de una famosa desigualdad, pero esta desigualdad es poco conocida para los alumnos a los que va dirigida esta prueba, y es relativamente sencillo manejar esta desigualdad con herramientas directas.
La parte más difícil es entender qué hacer con tantas variables. Una de las cosas más útiles es reducirlas. En este caso, usando que x no vale cero (el caso particular lo dejamos para el final), la desigualdad (ax + by)2 ≤ ax2 + by2 es equivalente a ((ax + by)/x)2 ≤ ax2/x2 + by2/x2, que si se simplifica queda (a + by/x)2 ≤ a + b(y/x)2. como se puede ver, todo depende de z=y/x, es decir, nos quedamos con la desigualdad equivalente que nos indica que (a + bz)2 ≤ a + bz2. Esto no es estrictamente necesario, pero nos dará una visión más clara.
Ahora, como a + b = 1, despejamos b = 1 - a y sustituimos en la igualdad, es decir, que nuestra desigualdad anterior es equivalente a (a + (1 - a)z)2 ≤ a + (1 - a)z2. Para poder probarlo, quitamos los paréntesis y restamos ordenadamente para comprobar si realmente la diferencia es positiva. Si es así, el extremo de la derecha será mayor que el de la izquierda.
Por un lado, (a + (1 - a)z)2 = a2 + 2a(1 - a)z + (1 - a)2z2 = a2 + 2az -2a2z + (1 - 2a + a2)z2 = a2 + 2az - 2a2z + z2 - 2az2 + a2z2.
Por otro lado, a + (1 - a)z2 = a + z2 - az2.
Si restamos la expresión de la derecha menos la izquierda, tendremos a + z2 - az2 - (a2 + 2az - 2a2z + z2 - 2az2 + a2z2) = a - a2 - 2az + 2a2z + az2 - a2z2). Esta expresión, si sacamos factores comunes las diferentes potencias de z, obtenemos que es equivalente a a(1 - a) - 2a(1 - a)z + a(1 - a)z2 = a(1 - a)(1 - 2z + z2) = a(1 - a)(1 - z)2, que es claramente positivo, ya que es un producto de un cuadrado por dos valores positivos, ya que a y b = 1 - a son números positivos. Por lo tanto está demostrada la desigualdad.
Además, la igualdad se da cuando la expresión anterior vale cero, que es en el caso en que a o b valen cero, en el que es trivialmente cierta la igualdad, o bien cuando z = 1, lo que equivale a que x sea igual a y.
Queda por tratar el caso x = 0, en el que no podríamos dividir por x para iniciar la transformación. En este caso, la desigualdad queda (by)2 ≤ by2. Esta desigualdad es claramente cierta, ya que by2 - b2y2 = b(1 - b)y2 = bay2, que es un número positivo y sólo se anula cuando uno de los dos es cero. También es igualdad cuando y = 0, que en este caso también es igual a x.
Por tanto es un caso más de los que se ha hablado anteriormente.
La representación geométrica de todo esto nos daría otra visión para lograrlo, ax + by es un valor entre x e y, y con cuadrados sería un valor entre x al cuadrado e y al cuadrado, es decir, que sería un valor intermedio entre dos puntos de la parábola, comparado con el valor promedio de la parábola entre ambos, que es claramente inferior debido a la concavidad de la parábola.
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