Áreas y triángulos

Enunciado

Pablo Sussi nos comenta una solución que es muy fácil de seguir. Se trata de dividir el problema en dos, trazando una recta que introduzca un triángulo intermedio. Como él propone, vamos a dibujar una recta que una un vértice del triángulo grande con uno del pequeño. Bien podría ser la otra posibilidad, y el razonamiento habría sido análogo, pero elegimos la del dibujo de la derecha.

Así, el problema lo razonaremos en dos etapas. Primero, trataremos de calcular el área del triángulo intermedio, cuya base será 5/2 de la base del pequeño, y la altura será la misma, ya que comparte vértice superior. Así, tendremos que el área del triángulo intermedio será de 20 u².

Ahora, para comparar este triángulo intermedio con el grande, giraremos mentalmente el dibujo, hasta lograr que la base sea el lado que antes ocupaba el lugar izquierdo. Ahora, el triángulo intermedio y el mayor tendrán la altura común, y la base del mayor será 3/2 de la de el menor, por lo que su área será 3/2 de 20 = 30 u², como afirma Pablo.

Otra manera de razonarlo, más algebraica, sin hacer ningún trazo, es observar que el área del triángulo se calcula multiplicando la base por la altura, y debido a lo que nos dice el problema, la base del triángulo mayor es 5/2 de la del pequeño y su altura, que aumenta proporcionalmente al tamaño de su lado izquierdo, es 3/2 de la del pequeño. Por eso su área será a_g = (b_g*h_g)/2 = ((5/2)*b_p*(3/2)*h_p)/2 = (5/2)*(3/2)*(b_p*h_p)/2 = (15/4)*a_p = (15/4)*8 = 30 u², donde b, h y a representan la base, la altura y el área, respectivamente, y la g y la p representan el triángulo pequeño y el grande.

Criterio de divisibilidad

Enunciado

La clave en este problema se puede obtener si estudiamos los restos de la división entre 7 de algunos de estos números.

Así, probando con algunos valores concretos, tenemos que el resto de dividir 1432 entre 7 es 4, mientras que si realizamos la operación indicada, tenemos 432 - 1 = 431, y el resto al dividir 431 entre 7 es también 4. De la misma forma, si dividimos 1432 entre 11, el resto es 2, y si dividimos 431 entre 11, también obtenemos un 2 de resto. Podemos comprobar que ocurre lo mismo si probamos con cualquier otro número y cualquiera de los tres factores a estudiar, 7, 11 o 13.

Si el resto es el mismo, sólo puede ocurrir que la diferencia entre ambos números es un múltiplo de los factores entre los que dividimos, así que debemos buscar una forma algebraica de representar esta diferencia, y comprobar nuestra hipótesis.

Distinguir las últimas tres cifras del número y las primeras en notación decimal podríamos representarlo algebraicamente como que n es de la forma 1000a + b, donde b son las últimas tres cifras y a las demás cifras (por ejemplo, 1432 = 1000*1 + 432). En ese caso, k sería de la forma b - a. Evidentemente, n - k sería 1000a + b - (b - a) = 1001a, y 1001 es un número que es igual a 7*11*13, con lo que es claramente múltiplo de los tres.

Puesto que la diferencia es un múltiplo de los tres primos, n es divisible entre cualquiera de ellos si y sólo si k lo es, como queríamos demostrar. Una versión muy similar a esta demostración aparece en los comentarios el enunciado.

Número de tres cifras

Enunciado

La clave es escribir cuántos productos tienen sólo una cifra, mirando, por ejemplo, la tabla de multiplicar.

Encontramos 1x1 = 1, 1x2 = 2, 1x3 = 3, 1x4 = 4, 1x5 = 5, 1x6 = 6, 1x7 = 7, 1x8 = 8 y 1x9 = 9, 2x1 = 2, 2x2 = 4, 2x3 = 6, 2x4 = 8, 3x1 = 3, 3x2 = 6, 3x3 = 9, 4x1 = 4, 4x2 = 8, 5x1 = 5, 6x1 = 6, 7x1 = 7, 8x1 = 8 y 9x1 = 9.

Siguiendo estos productos, encontramos los números que buscamos, 111, 221, 331, 441, 551, 661, 771, 881, 991, 212, 422, 632, 842, 313, 623, 933, 414, 824, 515, 616, 717, 818 y 919. En total, 23 números diferentes, como dice nuestro seguidor Pablo Sussi.

Repartiendo la tarta

Enunciado

Este es un problema en el que debemos hacer cierta investigación previa. Si hacemos cortes desde el centro, todas las figuras las podemos dividir en triángulos que tienen un vértice en el centro (puede que sean cuadriláteros, o incluso pentágonos, si abarcan dos o tres bordes, pero se pueden dividir en triángulos). Como la cantidad de tarta que tiene cada trozo depende del área de la tarta, podemos estudiar de qué depende el área de cada uno de esos triángulos.

Conociendo la forma básica y su área, que es la mitad de la base por la altura, vemos que si usamos como base del triángulo el borde, todos los triángulos tendrán la misma altura, ya que el centro del cuadrado siempre está a 15 centímetros del borde. Es decir, que el área de un triángulo central que tenga 10 centímetros de borde, tendrá de área 10*15/2 = 10*7,5, el área de un triángulo cuyo borde mida 30 centímetros será 30*15/2 = 30*7,5, el de uno que tenga 5 centímetros será 5*7,5 y así sucesivamente.

Para repartir el área de toda la tarta entre 5 comensales, como mide 900 centímetros cuadrados, cada uno deberá tomar triángulos cuya área sume 180 centímetros cuadrados, por lo que su borde debe medir 180/7,5 = 24 centímetros. Es decir, que partimos triángulos centrales con un borde total de 24 centímetros. Observa que eso equivale a repartir en realidad los 120 centímetros de borde de la tarta entre los cinco invitados. Partiendo del corte que teníamos al principio, mediremos 14 centímetros en el siguiente lado, luego uniremos los 16 restantes con 8 del último lado, luego podremos tomar todo el lado restante y dos centímetros del siguiente, y una pieza triangular que tendrá un borde de 24 centímetros del mismo lado. La pieza restante, de nuevo un cuadrilátero, tendrá 4 centímetros de este lado y 20 del mismo lado que el primero.

He puesto dos dibujos en esta solución, uno indicando varios triángulos centrales en la tarta, y otro con la división en cinco partes del mismo tamaño.

Como hemos visto, repartir la tarta en trozos del mismo tamaño (que no iguales) es equivalente a repartir el borde. Como este borde mide 120, repartirlo en partes enteras se puede hacer entre cualquier divisor de 120. El mayor, evidentemente, es el propio 120, pero en ese caso saldrían trozos con un ridículo borde de 1 centímetro.

Cuadrados con condiciones

Enunciado

La idea más eficaz consiste en tomar la ecuación n/(20 - n) = a² y despejar n en función de a, lo que es más sencillo comprobar si es o no entero.

En efecto, podemos quitar denominadores de la ecuación n = 20a² - a²n, situar la n en el mismo lado de la igualdad con n + a²n = 20a² y sacar esta incógnita factor común con n(1 + a²) = 20a², de donde la despejamos de forma que n = 20a²/(1 + a²).

Ahora, podemos tratar de dar valores a la variable a, teniendo en cuenta que, para que sea n un número entero, 1 + a² debe ser un divisor de 20, ya que no puede dividir nunca a a², que es una unidad inferior.

Otra forma de ver esa necesidad, alternativamente, es mediante una pequeña transformación, escribir la igualdad anterior como n = (20 + 20a² - 20)/(1 + a²) = (20(1 + a²) - 20)/(1 + a²) = 20(1 + a²)/(1 + a²) - 20/(1 + a²) = 20 - 20/(1 + a²), donde aún se ve mejor que (1 + a²) debe ser un divisor de 20.

Puesto que todos los divisores de 20 son menores que 20, sólo hay que probar los valores de a 0, 1, 2, 3 y 4, resultando que son todos válidos excepto a = 4, es decir, que los valores válidos de n son 0, 10, 16 y 18.

Evidentemente, si probamos todos los valores de n entre 0 y 20, y comprobamos si es o no entero, también tendríamos este resultado.

Raíces que suman lo mismo

Enunciado

Partimos de que conoces las relaciones entre los coeficientes de un polinomio y sus raíces, que en el caso de los de tercer grado, supone que si las raíces son s, t y u, y los coeficientes son 1, a, b, y c, sería que -c = stu, b = st + su + tu, y que -a = s + t + u.

Si no conoces estas relaciones, puedes deducirlas de la igualdad x³ + ax² + bx + c = (x - s)*(x - t)*(x - u), desarrollando el producto.

En realidad, gracias a estas relaciones puede que no tengamos que solucionar la ecuación, algunas de cuyas raíces son complejas, para probar esa extraordinaria relación.

En nuestro caso, tenemos que -2 = s + t + u, 3 = st + su + tu y -4 = stu.

La suma de las primeras potencias es, pues, -2.

Probemos a calcular la suma de las segundas potencias, s² + t² + u². Una forma de usar las relaciones anteriores en una igualdad es elevar al cuadrado la expresión s + t + u, que ya sabemos que vale -2. Así, (-2)² = 4 = (s + t + u)², y desarrollando este polinomio, tenemos que 4 = s² + t² + u² + 2st + 2su + 2tu, de donde se deduce que 4 = s² + t² + u² + 2(st + su + tu). Como hemos visto, esta última expresión entre paréntesis es el segundo coeficiente, 3, por lo que 4 = s² + t² + u² + 6, por lo que -2 = s² + t² + u², como queríamos demostrar.

La suma de las terceras potencias es mucho más compleja, podemos utilizar la expresión (s + t + u)³, que tras un duro trabajo conseguimos convertir en s³ + t³ + u³ + 6stu + 3s²t + 3s²u + 3t²s + 3t²u + 3u²s + 3u²t. Si te fijas, la expresión es muy simétrica, pero, excepto el primer grupo de tres sumandos, que son los que nos interesan, los demás no parecen cuadrar con las expresiones que teníamos antes, que son st + su + tu, stu y s + t + u.

En realidad, podemos transformarla un poco, de forma que aparezca un factor común s en tres sumandos, y podamos obtener una expresión st + su + tu, otro factor t con idéntica misión y otro u.

Veamos el procedimiento: s³ + t³ + u³ + 6stu + 3s²t + 3s²u + 3t²s + 3t²u + 3u²s + 3u²t = s³ + t³ + u³ + 3s²t + 3s²u + 3stu + 3t²s + 3t²u + 3stu + 3u²s + 3u²t + 3stu - 3stu = s³ + t³ + u³ + 3s(st + su + tu) + 3t(ts + tu + su) + 3u(us + ut + st) - 3stu = s³ + t³ + u³ + 3(st + su + tu)(s + t + u) - 3stu.

Observa la estrategia de repartir el término 6stu en tres grupos, y restar después 3stu, ya que nos hacen falta en realidad 9. El procedimiento exige extraer factor común dos veces, sólo de los términos que nos interesan.

De esta retorcida manera, tenemos que -8 = -2³ = (s + t + u)³ = s³ + t³ + u³ + 3(st + su + tu)(s + t + u) - 3stu = s³ + t³ + u³ + 3(3)(-2) - 3(-4). De la igualdad -8 = s³ + t³ + u³ -18 + 12 concluimos que -2 = s³ + t³ + u³, que era lo que queríamos demostrar.

Esferas amontonadas

Enunciado

¿Cómo se construye una fórmula? Una de las cosas que se deben aprender en el tema de sucesiones y progresiones aritméticas y geométricas es a construir fórmulas. En realidad, a lo que aprendemos muchas veces es a utilizar unas pocas que aprendemos de memoria.

Podemos crear las fórmulas apropiadas de varias formas, el método que voy a emplear es el método de las diferencias, que consiste en ver cómo aumenta la cantidad de uno al siguiente. Voy a ir despacio para que pueda verse la lógica que se encuentra detrás.

Necesitamos ver cómo manejar fórmulas para representar varias cosas. Empezaremos por construir una fórmula apropiada para representar la cantidad de esferas que hay en un triángulo equilátero de esferas de lado n. Puesto que hay en una fila 1, en la siguiente 2, y así hasta n, podemos verlo como una suma de una progresión aritmética de primer término 1 y de diferencia 1, pero voy a hacerlo de una forma alternativa. La diferencia entre un triángulo de lado n y el siguiente (de lado n + 1) es exactamente n + 1 esferas, es decir, que basta construir una fórmula de forma que su diferencia sea apropiada. Puesto que la diferencia es de 1er grado, uso una genérica de segundo grado, de la forma p(n) = an² + bn + c. Así, p(n + 1) = a(n + 1)² + b(n + 1) + c, y p(n + 1) - p(n), desarrollando y restando, es 2an + a + b = n + 1 para todo n, de donde obtenemos que a = 1/2 y b = 1/2. Ya tenemos que p(n) = n²/2 + n/2 + c. Usando un valor concreto (sabemos, por ejemplo, que p(1) = 1 o que p(2) = 3, es claro que c vale 0. Y ya tenemos que p(n) = n²/2 + n/2 = n(n + 1)/2.

En segundo lugar, veremos cuántas esferas forman una pirámide de lado n. Esta fórmula en realidad no es necesaria, pero servirá para ilustrar más el método que seguimos para construir fórmulas.

La diferencia entre una pirámide de lado n y una de lado n + 1 es exactamente un triángulo de lado n + 1, que, según hemos visto, es p(n + 1) = (n + 1)²/2 + (n + 1)/2. Desarrollando esta fórmula obtenemos p(n +1) = n²/2 + 3n/2 + 1. Es decir, que si llamamos q(n) al número de esferas de la pirámide, tenemos que q(n +1) - q(n) = n²/2 + 3n/2 + 1. Por eso, necesitamos que q(n) sea una fórmula de tercer grado, an³ + bn² + cn + d. De nuevo, haciendo q(n + 1) - q(n), desarrollando y agrupando términos, tenemos que a(n + 1)³ + b(n + 1)² + c(n + 1) + d - an³ - bn² - cn - d = an³ +3an² + 3an + a + bn² + 2bn + b + cn + c + d - an³ - bn² - cn - d = 3an² + (3a + 2b)n + a + b + c. Esta fórmula debe ser igual, para todo n, a n²/2 + 3n/2 + 1, por lo que necesitamos que los coeficientes sean iguales, es decir, que 3a = 1/2, que 3a + 2b = 3/2, y que a + b + c = 1. De nuevo, la d la obtendremos de valores concretos. Con un poco de paciencia, obtenemos que a = 1/6, b = 1/2 y c = 1/3. Dando el valor q(1) = 1, o q(2) = 4, tenemos que d = 0. Es decir, que la fórmula adecuada es q(n) = n³/6 + n²/2 + n/3. Esta fórmula se puede factorizar como q(n) = n(n + 1)(n + 2)/6.

Antes de empezar en serio, una última fórmula: cuántos puntos de tangencia hay en un triángulo de lado n de esferas. De nuevo supongamos que tenemos la fórmula c(n) de esos puntos de tangencia, y veremos cuántos se añaden cuando pasamos de c(n) a c( n + 1). Evidentemente, hay que añadir una nueva fila de n esferas. Añadir la primera produce un nuevo punto de contacto, las n - 1 esferas siguientes añaden tres puntos de contacto cada una, ya que tocan tanto con la anterior, como con las dos del triángulo que existía. Por último, la última esfera añade dos puntos de contacto más. En total, c(n + 1) - c(n) = 1 + 3*(n - 1) + 2 = 1 + 3n - 3 + 2 = 3n. Deducimos entonces que el número de puntos de contacto debe ser un polinomio de segundo grado, an² + bn + c. De esta forma, c(n + 1) - c(n) = 2an + a + b, como ya vimos, y para que 2a = 3 y a + b =0, tenemos que a = 3/2, y b = -3/2. Valorando que c(1) = 0, tenemos que c = 0, es decir, que la fórmula es c(n) = 3n²/2 -3n/2 = 3n(n -1)/2.

Vamos ya con el problema que nos interesa. Si llamamos d(n) al número de contactos entre las esferas de una pirámide de lado n, al pasar a n + 1, lo que hacemos es añadir un triángulo de lado n + 1. Eso significa que añadiremos todos los puntos de contacto de un triángulo de lado n + 1 y cada una de las esferas del triángulo que forma la última capa (un triángulo de lado n) tendrá tres puntos de contacto nuevos. En total, d(n + 1) - d(n) = c(n +1) + 3*p(n) = 3(n + 1)²/2 -3(n + 1)/2 + 3*(n²/2 + n/2) = 3n²/2 +3n²/2 + 6n/2 - 3n/2 +3n/2 + 3/2 - 3/2 = 3n² + 3n.

De nuevo tenemos un polinomio de grado 3, d(n) = an³ + bn² + cn + d, y en ese caso, d(n + 1) - d(n) = 3an² + 3an + 2bn + a + b + c = 3an² + (3a + 2b)n + a + b + c, por lo que 3a = 3, 3a + 2b = 3, y a + b + c = 0. Por tanto a = 1, b = 0 y c = -1. Nos queda determinar d, para lo que podemos usar, por ejemplo, que para n = 2 vale 6 el número de contactos, por lo que d vale 0, y la fórmula es d(n) = n³ - n.

Cinco amigas

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Este tipo de problemas es un clásico. Resolverlos es un poco monótono, pero se trata de un pasatiempo similar al de los sudokus.

Una forma de resolverlo para alguien que tenga paciencia y tiempo consiste en cuadricular una tabla en la que aparezcan todas las opciones de posición, color de ropa, reloj, tienda, comunidad de origen y bebida cruzadas. Evidentemente, es mejor evitar duplicidades, eliminando aquellas opciones que ya estén marcadas, la tabla adquiere entonces un aspecto más parecido a un triángulo, para evitar anotar dos veces la misma característica.

Entonces empezamos a señalar los detalles que conocemos, así, si se afirma que la catalana se sitúa en primer lugar, marcaremos con un círculo ese cruce (catalana y primer lugar), mientras que pondremos una x en aquellos lugares que seguro que no ocupa la catalana, y en aquellas comunidades que ya sabemos que no ocupan el primer lugar.

A partir de la primera anotación, cualquier afirmación que nos permita poner una marca de cualquier tipo, hay que comprobar si permite derivar alguna observación, es decir, que si después observamos algo sobre la catalana (por ejemplo, que no va vestida de rojo, por que la que va de rojo es vasca), entonces también sabemos que la de primer lugar cumple esa afirmación. En la tabla, cualquier coincidencia en vertical y horizontal con un círculo se traslada a la dirección perpendicular.

Por último, hay afirmaciones más difíciles de situar, que deberemos consultar varias veces, ya que saber que la de verde va a la izquierda de la de blanco nos sirve en función de lo que conozcamos ya de la posición de la de verde y la de blanco, así como La de Berska y la que lleva un reloj Swatch están juntas. Estas afirmaciones es posible que requieran algo más de reflexión y situar varias veces la información en la tabla. Si lo hacemos con cuidado, en algunas ocasiones nos permitirá saber mucho más de lo que sabíamos por descartes, de forma que al final logremos nuestro propósito.

En el caso que nos ocupa, en los comentarios han hallado la solución en muchas ocasiones, así que la reflejo aquí: La que compra en Stradivarius es la que está situada en cuarta posición, va de verde, es andaluza, toma café y usa un Cartier.