viernes, 19 de septiembre de 2008

Círculos

Enunciado

Este problema es uno de los más interesantes que me he encontrado de este nivel. Por supuesto que se puede resolver por tanteo, pero tanteando se pueden descubrir varias cosas que lo simplifican, hasta agotar la totalidad de las soluciones.

Lo primero que se hace con estos problemas es estudiar en cuántas sumas aparece cada uno de los números que situamos en los círculos. Observa que todos intervienen en dos sumas, exactamente. Por eso, al sumar todos los resultados (18 + 14 + 11 + 14 + 16 + 17 = 90) da el doble que la suma de los dígitos (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45). Si diese otra cosa, sería imposible. Como en principio no parece haber más pistas, traté de tantear un poco (empezando por donde estaban las sumas más grandes), y descubrí un curioso fenómeno.

Supongamos que ponemos un 5, por ejemplo, entre el 18 y el 17. Los dígitos que están entre el 18 y el 14 deben sumar 13, para que al añadirlos a 5 den el 18, y por tanto el que hay entre el 14 y el 11 debe ser 1, para que 13 + 1 sea igual a 14. De la misma forma, el que está entre el 16 y el otro 14 debe ser 4, y la suma de los que hay entre el 17 y el 16 deben sumar 12, para que cuadren las sumas. De esta forma, podemos sacar los números que van en los vértices del triángulo central (en el ejemplo, 5, 4 y 1), y las sumas de los otros por parejas, lo que hace mucho más rápido su cálculo.

Primera solución

Primera solución

La regla que obtenemos es que, si ponemos un número entre el 17 y el 18, el del vértice superior debe valer 4 unidades menos, y el del otro vértice, una unidad menos. De forma que lo mínimo que puede ir en ese vértice es un 5 (como hemos visto, 1 en el de arriba y 4 en el otro). Las sumas de las otras parejas son, respectivamente, en el sentido de las agujas del reloj partiendo del 5, 13, 10 y 12. Como hay que usar el 2, sólo puede ser 2 + 8 = 10, el 3 irá en 3 + 9 = 12, y los restantes, 6 + 7 = 13. La figura queda como la primera de la imagen.

¿Será la única solución? Si probamos a poner un 6, los otros vértices del triángulo son 2 y 5, y las sumas, 12, 9 y 11. De nuevo, el 1 sólo puede ir en 1 + 8 = 9, y el 3 no lo podemos poner, pues 6 y 8 están usados ya.

Si ponemos un 7, los otros vértices son 3 y 6, y las sumas son 11, 8 y 10. El 9 lo podemos poner como 9 + 1 = 10, pero entonces el 2 no se puede usar (9 y 6 están usados). También podemos poner 9 en 9 + 2 = 11, y el 1 tampoco se puede usar, pues 9 y 7 están usados.

Segunda solución

Segunda solución

Si ponemos un 8, los vértices son 4 y 7, y las sumas 10, 7 y 9. El 9 sólo podría ir en 9 + 1 = 10, y 6 sólo en 6 + 3 = 9, y los otros dos serían 2 + 5 = 7, lo que daría otra solución.

Por último, si ponemos un 9, los vértices serán 5 y 6, y las sumas, 9, 6 y 8. El 8 tendría que usarse en 8 + 1 = 9, pero el 7 no podría usarse.

Luego sólo hay dos soluciones, salvo que cambiemos de sitio los sumandos que no están en un vértice, que son intercambiables.

3 comentarios:

Susana dijo...

Como puedo hacer para poner los numeros del 1 al 9 en un triangulo y que la suma de sus lados sea la misma

Proble Mático dijo...

Si pones todos los números en los lados, ninguno en los vértices, en total suman 45, luego tienes que intentar que sumen 15 en cada lado (por ejemplo, 9,5,1, 6,7, 2, 3, 8, 4).
Si pones alguno en los vértices, éstos se sumarán dos veces, por lo que en total sumarán 45 + la suma de sus vértices.
Procura que los vértices sumen un múltiplo de 3. Por ejemplo, poniendo el 1, el 2 y el 3, suman 6. En total, 45 + 15, 51, por lo que cada lado debe sumar 17. Por ejemplo, 2 - 9 - 5 - 1 , 1 - 6 - 7 - 3, 3 - 8 - 4 - 2.
¿Te vale así?

Proble Mático dijo...

Quería decir 45 + 6 = 51, evidentemente.