Hablando de divisores...

Enunciado

Saber cuántos múltiplos de un número hay es más fácil que averiguar cuántos no lo son, de forma que trataremos de contar cuántos múltiplos hay y, a partir de ahí, obtener la otra cifra. del 1 al 1000 hay 1000 números, y de ellos, la tercera parte, 333, son múltiplos de 3. El último es 999. Por tanto, habrá 1000 - 333 = 667 números que no son múltiplos de 3.

Ahora, podríamos contar cuántos hay que sean múltiplos de 7, para quitarlos, pero hay que tener cuidado, ya que hay múltiplos de 7 que también lo son de 3, de forma que ya los hemos quitado, luego habrá que volver a ponerlos si queremos quitarlos ahora.

Es decir, del 1 al 1000, la séptima parte (142, exactamente) son múltiplos de 7. De ellos, la tercera parte, 47, lo son también de 3, luego los hemos quitado ya. Por tanto, hay que quitar de los 667 que teníamos 142 - 47 = 95. Nos quedan, por tanto, 572 que no son múltiplos de 3 ni de 7.

Pero no hemos acabado, quedan los múltiplos de 11. Del 1 al 1000 hay 90 múltiplos de 11, de los que 30 serán múltiplos de 3, y 12 son múltiplos de 7. Sin embargo, entre los 90 hay 4 que son a la vez múltiplos de 3 y de 7, por lo que están contados dos veces. Dicho de otra forma, de los 90, hay que eliminar 30, que son múltiplos de 3, y 12 - 4 = 8, que son múltiplos de 7 que no son a la vez múltiplos de 3, y que también habría que quitar. Si a 90, le quitamos 38, quedan 52 múltiplos de 11 que aún no estaban quitados del total.

Así, a 572 hay que quitarle 52, y quedan exactamente 520 números que no son múltiplos de 3, ni de 7, ni de 11.