Un tablero recubierto

Enunciado

La primera idea que se tiene cuando se lee un problema como éste es recurrir a la aritmética. Si tenemos piezas de 4 casillas y de 3 casillas, para cubrir 49 casillas, si lo logramos, usaremos una de las siguientes combinaciones: 10 de 4 y 3 de 3, o 7 de 4 y 7 de 3, o 4 de 4 y 11 de 3, o 1 de 4 y 15 de 3. Como la pregunta es cuántas de 3 casillas se usaron, hemos reducido la respuesta a estas cuatro opciones, 3, 7, 11 o 15.

Ejemplos de borde

Después de el recuento traté de hacer unas pruebas sobre distintos tableros para probar a recubrirlos con piezas como las indicadas, sin llegar en principio a ningún patrón reconocible. Aparentemente no logré ninguno, pero sí hubo indicios de algo importante al fijarme en cómo se alineaban las piezas en el borde. La forma de las piezas obliga a que en el borde, o bien aparezcan pares de casillas tapadas (por cualquiera de los tres tipos de piezas), o bien una casilla tapada por la pieza 1 o la pieza 3, y entonces, su casilla derecha o izquierda debe estar cubierta por una pieza 1 o 3 para que encaje con la anterior, y en ese caso tapa dos casillas. Así pues, tenemos en todos las lados grupos de 2 o de 3 casillas de la manera citada. Como cada lado está compuesto de 7 casillas, sólo puede darse 1 grupo de 3 y 2 de 2, ya que es la única combinación que suma 7. Observamos en la imagen las tres posibilidades principales de una combinación de 3 y dos de 2.

La combinación puede lograrse de varias formas, y un lado debe encajar con el siguiente, pero si nos fijamos en las casillas centrales (las 9 que forman el centro del tablero), una vez rellenos los bordes, sólo podemos encontrar un número muy limitado de situaciones.

Si los bordes quedan totalmente llenos, y sólo nos quedan por cubrir las 9 casillas centrales, no lo lograremos usando sólo las piezas indicadas, de forma que esa situación no puede darse.

Tablero Completo

Si los bordes tienen salientes que tapan parte de las centrales, sólo puede darse en la casilla central, ya que ese saliente sólo se puede dar en una combinación de 3. Eso nos puede llevar únicamente a una solución que requiere 15 piezas de tipo 1 (ver imagen).

Evidentemente, no podemos tapar más de una de esas piezas centrales, y en caso de que lo hagamos nos vemos obligados a adoptar una solución similar a la vista.

Si dejamos libres piezas que añadimos a las centrales, sin tapar ninguna de ellas, las soluciones son varias, pero siempre obligan a utilizar las 15 piezas tipo 1, y además sólo una pieza tipo 3. No he encontrado ninguna combinación que pueda utilizar piezas de tipo 2, o menos piezas de tipo 1.