La diferencia es 2009

Enunciado

Puesto que se trata de pares de enteros, es una ecuación diofántica.

Como todas las ecuaciones de este tipo, lo que hemos de intentar es factorizarla y razonar sobre los diferentes factores que aparecen. En este caso, hay dos potencias restadas, que pueden tratarse como diferencia de cuadrados, así que x² - y⁴ = (x - y²)*(x + y²) = 2009. Puesto que tanto x como y son números enteros, los dos factores polinómicos, (x - y²) y (x + y²) son factores enteros. Basta descomponer 2009 en factores primos para estudiar todos los productos posibles, tanto positivos como negativos, y estudiar los casos para averiguar el valor de x e y.

Antes de pasar a valores concretos, supongamos que x - y² = a y x + y² = b, donde a es menor que b (recuerda que y² siempre es positivo). En ese caso, a + b = 2*x, y b - a = 2*y². De ahí, tendremos que x = (a + b)/2 e y² = (b - a)/2. Es evidente que (b - a)/2 deberá ser un cuadrado perfecto para que podamos calcular con éxito un valor entero para y.

Ahora, factoricemos 2009 = 7*7*41, así que lo podemos expresar sólo de seis formas 2009 = 1*2009 = 7*287 = 41*49 y sus opuestos. Las diferencias de estos números son 2009 - 1 = 2008, cuya mitad, 1004, no es un cuadrado perfecto, 287 - 7 = 280, cuya mitad es 140, que tampoco es un cuadrado perfecto, y 49 - 41 = 8, cuya mitad es 4. Este producto es el único que podemos aprovechar.

De 49*41 obtenemos un valor para x de (49 + 41)/2 = 45, y un valor para y de +2 y -2, y de (-49)*(-45) obtenemos un valor para x de -45, y un valor para y de +2 y -2.

En resumidas cuentas, los únicos pares posibles son (45, 2), (45, -2), (-45, 2) y (-45, -2).