Tres números primos

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De nuevo se trata de un problema en el que debemos seguir un tanteo inteligente para que no lleve demasiado tiempo.

En los comentarios podemos observar el método que propone Alex, que es bastante corto. Yo voy a proponer otro, pero no es mejor que el de Alex.

En primer lugar, observamos que son tres números que suman un número par, es decir que uno de ellos es par (o son los tres), pero eso quiere decir que uno de ellos es 2, que es el único primo que es par.

Si 2 es p, entonces q² + r³ = 198. Como r debe ser 3 o 5 (7³ = 343 es demasiado grande), probemos si hay algún q válido. Descubrimos que q² = 171 y eso es imposible, pues no es un cuadrado perfecto, o bien q² = 73, que tampoco es posible.

Si 2 es q, entonces, p + r³ = 196, y de nuevo r puede ser 3, pero en ese caso p = 169, y ese número no es primo (169 = 13*13), o r puede ser 5, en cuyo caso tenemos el primer resultado, 71 + 2² + 5³ = 200.

Si 2 es r, entonces tendremos que p + q² = 192. Aquí probaremos diferentes valores para q, lo que nos llevará algún tiempo.

Si q es 3, p vale 189 = 3*63, no es primo.

Si q es 5, obtenemos otro resultado, 167 + 5² + 2³ = 200.

Si q es 7, p vale 143 = 11*13, no es primo.

Si q es 11, obtenemos el resultado 71 + 11² + 2³ = 200.

si q es 13, obtenemos el resultado 23 + 13² + 2³ = 200.

Y q no puede ser 17 o mayor, puesto que 17² = 289 ya es mayor que el número que buscamos.

Así, tenemos estos cuatro posibles valores.