jueves, 7 de julio de 2011

Calculemos áreas

Enunciado

La clave de la primera figura es descomponer los hexágonos en seis triángulos equiláteros, llevando al hexágono grande a estar compuesto de los mismos triángulos.

En particular, los tres hexágonos pequeños tendrán un total de 18 triángulos pequeños, mientras que el diámetro del hexágono grande contendrá un total de cinco bases de triángulo de ese mismo tamaño.

En definitiva, puesto que el lado del triángulo también vale 3, al igual que el del hexágono, el lado del hexágono grande medirá 7,5 (observa que su radio coincide con el lado, y que es dos veces y media la longitud de un lado de triángulo).

El área de un triángulo equilátero, usando Pitágoras para calcular la altura, sabrás que es √3*x2/4, siendo x su lado, por lo que el área del hexágono será 3√3*x2/2, y la de los tres hexágonos, en nuestro caso, 81√3/2. Sin embargo, el hexágono grande tendrá un área de 675√3/8, por lo que el área sombreada medirá la diferencia, 351√3/8, aproximadamente 75,9937 centímetros cuadrados.

En el segundo dibujo, el del cuadrado, se reduce el problema a calcular el lado del cuadrado mayor (el del menor es claramente 3). Descomponiendo de nuevo los hexágonos en triángulos equiláteros, el lado del triángulo mayor será tres más cuatro veces la altura de uno de esos triángulos, es decir, 3√3/2. En total, el lado de este cuadrado será 3 + 6√3, por lo que el área del cuadrado medirá (3 + 6√3)2. Y el área de los cuatro hexágonos será 54√3. En total, el área coloreada valdrá la diferencia, (3 + 6√3)2 - 54√3, que aproximadamente vale 85,8231 centímetros cuadrados, si no me he equivocado.

4 comentarios:

Anónimo dijo...

hola , mira yo he hecho el area del cuadrado , y no me dio nada que ver.
te cuento como le he pensado:
como dijiste pense un hexagono como 6 triangulos. y pense que la altura de 2 de esos 6 trangulos , mas la altura del cuadrado menos , mas la ultura de otros dos trnagulos del otro hexagono , me daria el lado del cuadrado , asi lo hice , a traves de pitagoras llegue a la conclusion que la ultura de cada uno de las triangulos del hexagono era 2 cm , sumados dos veces 4cm , mas 3cm de la altura del mini cuadrado , 7cm , mas otras dos alturas del otro hexagono, 11cm .
luego haciendo lado a la dos , saque la sup. del cuadrado , me dio 121cm cuadrados. luego le reste la sup del hexagono (18cm cuadrados) cuatro veces , y me dio de resultado 49cm cuadrados, espero podamos llegar a un acuerdo , hasta luego
si me he equivocado no temas en corregirme , saluditos

Viviana Beatriz dijo...

Buenas. Comento aquí porque no encontré nada parecido. Tengo que construir un trapecio y solo se sus bases y lados. ¿Cómo puedo hacer? ¿Cómo hallo la altura? Gracias y espero respuesta pronto!

Proble Mático dijo...

Es muy sencillo.
Toma la base corta y llévala sobre la base larga.
La diferencia entre los dos representa lo que queda cuando quitas el rectángulo que hay entre las bases paralelas: lo que tienes que hacer ahora es usar el compás con los dos lados no paralelos para hacer un triángulo con ambos. Para terminar, el lado no paralelo que hayas apoyado en el extremo del segmento que es el extremo de la base mayor, lo dejas ahí, y el otro lo trasladas mediante paralelas al otro extremo. Encontrarás que la línea que une los otros extremos es la base pequeña.
La altura coincide con la altura del triángulo que has hecho.

Proble Mático dijo...

El comentario anterior era si lo querías construir con regla y compás.
Si lo quieres calcular numéricamente te doy otra receta.