Una cuestión de unos y ceros

Enunciado

Este problema ha tenido una solución oficial tan sencilla que no puedo evitar contarla: la idea es que al dividir un número entre otro, el resto es un número menor que el segundo, así que si dividimos los números de la sucesión 1, 11, 111, etcétera entre un número fijo, puesto que es una sucesión ilimitada, habrá dos que tengan el mismo resto. Y, por supuesto, la diferencia entre esos dos términos, que estará compuesta exclusivamente por unos y ceros, dará resto cero al dividirlo entre ese número fijo. Así, cualquier número tiene un múltiplo de esa forma.

Considero que esta solución requiere tener la afortunada idea de aplicar este principio, no es una técnica habitual.

Yo había usado, con algo más de trabajo, la expresión decimal de 1/(9N), ya que una expresión fraccionaria de esta expresión decimal, periódica, podía tener un denominador compuesto de nueves y ceros, y era sencillo ver que necesariamente era un múltiplo de 9N. Dividiendo por 9 a ambos lados, obtendríamos la igualdad deseada.

Por otra parte, el resultado se puede generalizar, ya que todo número tiene un múltiplo formado por la suma finita de una serie de potencias consecutivas de una base prefijada. ¿Alguien se anima?