domingo, 17 de julio de 2011

Sistema de ecuaciones

Enunciado

Está claro que es más fácil trabajar con variables normales que con potencias, de forma que vamos a transformar 2x en a, 2y en b y 2z en c. Puesto que la función 2x es creciente y positiva, los números a, b y c son positivos y la transformación es absolutamente reversible (cualquier resultado (a, b, c) válido está asociado a un único (x, y z)).

Las ecuaciones, así, se transforman en 3b - 1 = a + 1/a, 3c - 1 = b + 1/b, 3a - 1 = c + 1/c. Dada la simetría de la situación, vamos a estudiar lo que pasaría si las tres fuesen iguales, ya que en ese caso, 3a = 1 + a + 1/a, de donde 2a = 1 + 1/a, es decir 2a2 - a - 1 = 0, que es una ecuación de segundo grado que tiene por soluciones 1 y -1/2. La solución negativa, evidentemente, no vale en este caso, y la solución positiva nos lleva a que (x, y, z) = (0, 0, 0).

Si los tres números no fuesen iguales, tendríamos un orden entre ellos. Tratemos de llegar a una contradicción. Estudiemos la función que transforma a cada uno de ellos en el otro. Despejando, tenemos que b = (a2 + a + 1)/3a, c = (b2 + b + 1)/3b y a = (c2 + c + 1)/3c. Está claro que hay que estudiar la función y = (x2 + x + 1)/3x.

Si estás acostumbrado a representar funciones, rápidamente detectarás que f(x) es mayor que 1 para todo los x positivos, y además, es creciente para valores por mayores que 1. Todo esto se puede estudiar de manera muy cómoda con la derivada, pero también de forma directa, ya que la solución válida anterior nos indica con qué número comparar.

Por lo tanto, a, b y c no sólo son mayores que 0, si no que deben ser mayores que uno. Y, puesto que a = f(c), c = f(b) y b= f(a), si uno de ellos es mayor que el otro rápidamente llegamos a una contradicción, puesto que si p > q, f(p) > f(q). Es decir, que los tres deben ser iguales y la única solución válida es (x, y, z) = (0, 0, 0).

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