domingo, 20 de noviembre de 2011

Funciones naturales

Enunciado

La idea de todo el trabajo con ecuaciones funcionales es tratar, a partir de las condiciones en puntos conocidos, de sacar conclusiones que afecten a todo el dominio de la función.

En este caso, veamos qué sucede con las funciones del tipo que se nos solicita.

Está claro que f(1*n) = f(n) + f(1), por lo que f(1) = 0.

Supongamos que conocemos algún valor concreto, por ejemplo, f(2) = 5. Sabemos que f(4) = 10, que f(8) = 15, y que f(16) = 20. Observa que cada vez aumenta más despacio. Hay 7 valores entre 8 y 16, y sólo 5 resultados posibles. Eso significa que no es estrictamente creciente. Pensemos que hay dos valores entre 8 y 16, pongamos 9 y 10, en los que se repite resultado, es decir, f(9) = f(10). Ahora bien, como f(99) = f(9) + f(11) es menor que f(100) = 2*f(10), también f(11) debe ser igual, y también se repite para f(12) (observa que 10*12 = 120 es una unidad inferior a 11*11 = 121). Es decir, que a partir de ese momento la función es constante. Pero no puede ser, ya que f(32) = 25 y es mayor que f(16).

Ahora, tratemos de formalizar nuestra observación.

Supongamos que f(2) = a > 0. En ese caso, f(4) = 2a, f(8) = 3a, y como 2x es una función creciente, existe b tal que 2b es mayor que 2a+2. Eso quiere decir que, como entre 2b - 1 y 2b hay exactamente 2b - 1 valores, y sus imágenes estarán comprendidas entre (b-1)a y ba, sólo pueden tener a imágenes distintas posibles. Como 2b - 1 es mayor que a + 1, entonces habrá dos valores (y además consecutivos) entre 2b - 1 y 2b que tengan la misma imagen. Supongamos que estos dos valores son s y s + 1. Entonces, como (s+1)2 = s2 + 2s + 1 = s*(s + 2) + 1, es decir, (s+1)2 es una unidad mayor que s*(s+2), tenemos que f((s+1)2) = 2f(s) debe ser mayor o igual que f(s) + f(s + 2), de donde f(s + 2) debe ser igual a f(s). Puesto que esto se aplica a cualquier número a partir de s, tendríamos que toda la función es constante a partir de ese momento, en contra de lo que sabemos, ya que 2b y 2b + 1 son mayores que s y se diferencian de nuevo en a.

Luego sólo puede suceder que f(2) = 0, y repitiendo el razonamiento para el valor 1 y 2, tenemos que toda la función es constante.

Por lo tanto, la única función que cumple el enunciado es la función constante nula.

2 comentarios:

Heiricar (Hernan Iriarte) dijo...

Pero bastaba con esto: f(0)=f(0*0)=f(0)+f(0)=0 luego
0=f(x*0)=f(x)+f(0)=f(x) por lo que la funcion buscada es f(x)=0. y sale altito xD

Proble Mático dijo...

Hay un problema, y es que 0 no se considera dentro del campo definido (es decir, no puede calcularse f(0)).
Por eso hay que recurrir a la otra línea.