Números grandes
Supongamos que A es un número de 50 cifras y B un número de 50 o menos cifras. N = 10^50A + B.
Para que se dé el enunciado, se debe tener que 10^50A + B = 3AB, luego B =3AB - 10^50A = A(3B-10^50).
De esta situación, deducimos que 3B - 10^10 es un divisor de B, por lo que 3B - 10^50 sólo está compuesto por múltiplos de 2 y 5, ya que un primo que divida a ese número, divide a B, y dividiría necesariamente a 10^50. Además, sus exponentes deben ser necesariamente menores que 50, por similares razones. Además, a partir de B, podemos obtener A de la forma A=B/(3B-10^50).
Vamos a probar con diferentes potencias de 2 y 5 para ese número, ya que si X = 3B - 10^50, B = (X+10^50)/3 debe ser entero.
Si vale 1, no puede existir B por divisibilidad por 3
Si vale 2, B vale 49 treses y un 4 y A vale un uno, 48 seises y un 7 de donde obtenemos el primer número de 100 cifras.
Si vale 4, entonces no existe B por divisibilidad por 3
Si vale 5, B vale 49 treses y un 5, y A tendría menos de 50 cifras, ya que habría que dividir por 5
Si vale cualquier cantidad mayor, sucede lo mismo, por lo que el resultado único es el obtenido: N se escribe como un 1, cuarenta y ocho seises, un 7, cuarenta y nueve treses y un cuatro.
No hay comentarios:
Publicar un comentario