Partículas en movimiento

Enunciado

Partición del prisma

En este tipo de problemas, una de los métodos más eficaces es tratar de compartimentar los puntos en figuras más pequeñas en las que puedas garantizar distancias similares a las que buscas.

En este caso particular, podemos dividir el espacio de dentro del prisma en cuatro prismas triangulares, de forma que las dos bases del prisma grande quedan divididas en cuatro triángulos regulares iguales (ver la figura).

Dentro de cada prima pequeño (las bases son triángulos de lado 30, y la altura es de 40, como el original), la distancia mayor que puede encontrarse entre dos puntos es la diagonal de uno de los rectángulos de los lados, cuya distancia es precisamente 50 centímetros (que podemos calcular con el teorema de Pitágoras).

Como el número de prismas es 4 y tenemos cinco partículas, con seguridad hay dos en uno de ellos, por lo que se garantiza así que la distancia entre ambas es de 50 centímetros.

Como el enunciado exige que la distancia sea menor que 50, debemos razonar un poco más. En el peor caso, las dos partículas más próximas ocuparán los vértices de uno de los lados del prisma. Eso obliga a que al menos una de ellas estará en dos prismas a la vez (pues estará en la pared común), y a su vez obliga a que alguno de los otros prismas vecinos estén más próximas de lo debido. Sobre el dibujo podemos marcar las posiciones en las que queramos situar partículas y comprobar que siempre hay dos sobre la misma arista de uno de los prismas.