Cuadriláteros especiales

Enunciado

Cuando sabes qué buscas, se trata de un problema de poca dificultad, sin embargo, en este caso, se complica extraordinariamente porque no sabes qué es lo que estás buscando.

Voy a tratarlo en principio con un poco de geometría analítica, combinada con algo de imaginación.

Supongamos que pones el centro de coordenadas en el punto P, y el primer vértice, A, sobre la parte positiva del eje x, a una distancia a del punto p (podríamos suponer que la distancia es 1 ajustando la unidad de medida, pero no es necesario).

Si situamos ahora el punto B, debe tener coordenada vertical negativa (por convexidad) -b, y el área del triángulo APB será ab/2.

Ahora, el punto D debe tener coordenada vertical positiva, y debe coincidir con b por la igualdad de áreas entre APB y APD.

Esto significa que el punto medio entre B y D debe caer sobre la recta PA. De la misma forma, el punto medio entre A y C debe caer sobre la recta PB.

Si el punto medio entre B y D no es exactamente P, eso significa que C está sobre una paralela a BP a la misma distancia que A, y sobre una paralela a DP a la misma distancia que A, con lo que sólo puede ser un punto: el simétrico de A respecto a P.

Dicho de otra forma: P es el punto medio de la diagonal AC, y el punto medio de la diagonal BD está sobre la recta AC.

Observa que si el punto medio entre B y D es precisamente P, tenemos una situación análoga.

Es decir, para que se dé la circunstancia pedida, las diagonales se deben cortar en el punto medio de una de ellas, y el punto P es el punto medio de la otra diagonal (no el punto de corte). Si se trata de un paralelogramo (se cortan por el punto medio de ambas), P es ese punto medio.