Desigualdad con raíces
Este tipo de enunciados es muy frecuente en la fase local, debemos disponer de estrategias que nos permitan afrontarlos con cierta tranquilidad, porque no son especialmente difíciles, pero si no dominamos las estrategias adecuadas, pueden convertirse en una cuestión imposible.
Una de las herramientas básicas consiste en conocer las desigualdades de las medias, para las cuales aconsejo leer dos pequeños artículos (en pdf) de korovkin: las desigualdades aritmético geométricas y las potenciales.
En este caso, nos interesa aplicar una desigualdad que afirma que la media aritmética de números positivos es siempre menor que la cuadrática. ¿Por qué la media cuadrática? Porque, al elevar al cuadrado, nos permite eliminar las molestas raíces que aparecen en nuestro enunciado.
Es decir, que como se da que √((s2 + t2)/2) ≥ (s + t)/2, aplicándolo a la expresión más complicada que tenemos, √(ab) + √((a2 + b2)/2) = 2*(√(ab) + √((a2 + b2)/2))/2 ≤ 2*√((√(ab)2 + √((a2 + b2)/2)2)/2), donde la hemos aplicado a esas dos expresiones, que quedan elevadas al cuadrado. Esta expresión se transforma ahora en 2*√((√(ab)2 + √((a2 + b2)/2)2)/2) = 2*√(ab + (a2 + b2)/2)/2) = 2*√((2ab + a2 + b2)/4) = 2*√((a + b)2/4) = 2*(a + b)/2 = a + b, con lo que queda demostrada la afirmación.
Otro enfoque, bastante diferente, consiste en dividir esta desigualdad entre una de las variables, pongamos por a, de forma que √(ab) + √((a2 + b2)/2) ≥ a + b es equivalente a √(b/a) + √((1 + (b/a)2)/2) ≥ 1 + b/a, de forma que todo queda dependiendo de una única variable b/a, es decir, que basta demostrar que √x + √((1 + x2)/2) ≥ 1 + x, de forma que se trata de una desigualdad en una única variable, algo mucho más fácil de manejar, por ejemplo, resolviendo la igualdad √x + √((1 + x2)/2) = 1 + x y descubriendo dónde se cortan las dos funciones y dónde es mayor una que otra realmente.
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