Una lista de 100 números muy peculiar

Enunciado

Si tratamos de conseguirlo, enseguida surgirán problemas, pero es difícil concretar porqué, y cuál es la cantidad de números a partir de la cual empiezan las dificultades.

La idea es encontrar una propiedad de los cuadrados que impida acumular muchos números con esas condiciones, pero es difícil dar con una propiedad sencilla. En este tipo de situaciones, debemos suponer que tenemos una lista de ese tipo, y demostrar que hay una propiedad imposible de cumplir, por lo que sabremos que no existe esa lista. Este método se denomina reducción al absurdo.

La primera observación útil es que si se obtienen cuadrados sumando cinco y nueve números impares, ha de tratarse de cuadrados impares. Esto está claro. ¿Hay alguna propiedad de los cuadrados impares que nos pueda dar una pista?

Claro, que si pensamos en 5*9 = 45 números de esa lista, nos fijamos en que los mismos números deben sumar cinco cuadrados y también nueve cuadrados, es decir, que cinco cuadrados deben sumar lo mismo que nueve cuadrados, y ahí podemos encontrar dificultades. Vamos a tratar de centrarnos en esa posibilidad, y ver qué sucede con los cuadrados impares, al estudiar diferentes posibilidades.

Si nos fijamos sólo en su paridad, no avanzamos mucho, ya que es muy sencillo sumar cinco impares y que tenga la misma paridad que sumar nueve. No es ese el factor que nos lleva a una situación imposible.

Sin embargo, atendiendo a los números en su relación con 4, por ejemplo, observaremos que pueden ser de la forma 4k + 1 y 4k + 3 según su resto al dividir entre 4. Sin embargo, al elevar al cuadrado alguno de estos dos números, tenemos (4k + 1)² = 16k² + 8k + 1 = 8*(2k² + k) + 1 y (4k + 3)² = 16k² + 24k + 9 = 8*(2k² + 3k + 1) + 1, de forma que en ambos casos, sus cuadrados sólo pueden ser de la forma 8s + 1 para algún s, es decir, al dividirlos entre 8 siempre tienen resto 1.

Aquí se ve cuál debe ser el problema, ya que si tenemos cinco números que al dividirlos entre 8 dan 1 de resto, su suma dará 5 de resto al dividirlos entre 8, y si tenemos nueve números así, entonces al dividirlos entre ocho debería dar resto 1 (ya que los nueve unos se unirían en un ocho y un uno). Por lo tanto es imposible que los dos números sean iguales, así que ni siquiera podremos llegar a 45 números con esta propiedad, por mucho que busquemos. Y mucho menos a 100.

Es posible que haya otras condiciones que impidan escribir listas incluso más cortas, pero probablemente sean más complicadas ¿alguien puede encontrar alguna?