Salto generacional

Enunciado

En definitiva, hemos de buscar lo que sucede si sumamos cuatro números consecutivos, y debe dar un número múltiplo de 11, que además sea mayor que 50.

Una primera sugerencia es sumar números bajos. Si el menor es 1, nos da 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Si aumentamos el menor de los números, también aumentaremos todos los demás, obteniendo 2 + 3 + 4 + 5 = 14. Está claro que cada unidad que aumentemos la edad del menor, añadimos 4 unidades a la suma.

Dicho de otra forma, las posibles edades del abuelo aumentan de 4 en 4, siempre entre números pares pero que no son múltiplos de 4 (10, 14, 18, 22, ....). Como vemos, el primer múltiplo de 11 es el 22, que no es válido por no ser mayor que 50. Como vamos de 4 en 4, y también de 11 en 11 para obtener múltiplos de 11, debemos añadir de 44 en 44, es decir, que la siguiente posible edad será 22 + 44 = 66. Y la siguiente 110. Está claro que la siguiente, 154, es algo excesiva hasta para un abuelo de un problema de matemáticas.

En el caso de la edad de 66, habremos sumado 56 a 10, lo que hace un total de 56/4 = 14 años a cada uno de los nietos, es decir, que tendrán 15, 16, 17 y 18.

Si el abuelo tiene 110, entonces habremos sumado 100 a 10, 25 a cada nieto, lo que da 26, 27, 28 y 29.

Otra idea que podemos seguir, es que si sumamos cuatro números consecutivos, el primero y el último suman lo mismo que los dos centrales, y debe ser un número impar, así que la edad del abuelo debe ser par, y no puede ser múltiplo de 4. Como además ha de ser múltiplo de 11, llegamos a 66 y a 110 de la misma forma. Ahora, para las edades de los nietos, en el primer caso, deben sumar 33 los dos centrales, lo que obliga a que sean 16 y 17 (observa que 16 = (33 - 1)/2). Luego son 15, 16, 17 y 18. En el segundo caso, los dos centrales sumarán 55, por lo que deben ser 27 y 28, así que los cuatro serán 26, 27, 28 y 29.