domingo, 29 de noviembre de 2009

Sumando 2009

Enunciado

Varios de los lectores que han puesto comentarios se han dado cuenta de que se puede aplicar la fórmula de la suma de una progresión aritmética y resolver el problema de una manera muy sencilla mediante ecuaciones diofánticas. No es la única técnica que se puede aplicar, pero es la más directa.

La fórmula dice que si a1, a2, ... , an es una progresión geométrica, la suma a1 + a2 + ... + an = (n*(a1 + an))/2.

En este caso, la suma de n números consecutivos que empiezan en a y acaban en a + n - 1, será (n*(a + a + n - 1))/2 = (n*(2a + n - 1))/2. Este valor debería coincidir con 2009.

Si no la conoces es fácil deducirla, al menos en este caso, ya que la suma de el primer y el último número coinciden con la del segundo y el penúltimo, y así sucesivamente.

El caso es que (n*(2a + n - 1))/2 = 2009. Si llamamos r a 2a + n -1, tenemos que n*r = 4018. Tanto n como r son números enteros, r es mayor que n, y, como podemos comprobar rápidamente, tienen distinta paridad, es decir, si uno es impar, el otro es par y viceversa.

Descomponiendo en factores 4018 obtenemos 4018 = 2*7*7*49, por lo que las posibles descomposiciones en dos productos serían: 1*4018, 2*2009, 7*574, 14*287, 41*98 y 49*82. En todos los casos hemos puesto el menor número delante.

En los casos primero y segundo, n valdría 1 o 2, que es menor que 3.

En el caso tercero n = 7 y r vale 574, por lo que 2a = 568, y a = 284. Por eso la suma es 284 + 285 + ... + 290 = 2009.

En el cuarto caso, n = 14, y r vale 287, por lo que 2a = 274, y a = 137. Por eso la suma es 137 + 138 + ... + 150 = 2009.

En el quinto caso, n = 41, y r vale 98, por lo que 2a = 58, y a = 29. Por eso la suma es 29 + 30 + ... + 69 = 2009.

En el sexto y último caso, n = 49 y r vale 82, por lo que 2a = 34, y a = 17. Por eso la suma es 17 + 18 + ... + 65 = 2009.

Estas cuatro soluciones son, por tanto, las únicas válidas.

1 comentario:

Anónimo dijo...

muy buena tu pagina me parecio muy interesante este articulo, espereo verte en la mia ;)

http://www.mimundoo.wordpress.com

ten una buena semana