Suprimiendo sumas

Enunciado

En este tipo de problemas no conviene empezar haciendo números a lo loco, salvo que tengamos mucho tiempo.

Matemáticamente, ¿qué significa suprimir una suma?

En realidad, restamos del sumando total el número de delante del signo que quitamos, y luego lo añadimos como si fuese centena, decena, o algo similar.

Si sumamos todos los números que tenemos, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 13*(1 + 13)/2, ya que podemos emparejarlos de dos en dos y sumarán lo mismo, y esto da 13*7 = 91.

Así, si suprimimos el signo que va delante del 1, obtendremos 91 - 1 + 10 = 100, y ese será el primer múltiplo de 100 que obtenemos. En efecto, 12 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 100.

Si probamos un poco, nos daremos cuenta que cada vez que suprimimos un signo +, lo que sumamos en realidad es un múltiplo de 9 a la suma anterior. ¿Por qué sucede esto? Pues porque si suprimimos el signo + de delante de un número a, en realidad conseguimos restar a la suma anterior a y sumar a*10ⁿ, donde n depende de las cifras que tenga el número siguiente. Está claro que a*10ⁿ - a = a*(10ⁿ - 1), que es un múltiplo de 9 (el último antes de a*10ⁿ).

Así que no podemos obtener números cuya diferencia con 91 no sea múltiplo de 9. El siguiente múltiplo de 100 que cumple esta propiedad es 100 + 900 = 1000, ya que 1000 - 91 = 909, que es múltiplo de 9.

Ahora bien, ¿cómo conseguir 909 mediante el método visto antes? Una idea muy sencilla es probar a quitar el signo de detrás del 9, y conseguiremos añadir 9*99 = 891. Como sólo falta 18, que es 2*9, quitamos también el de detrás del 2. En efecto, 1 + 23 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 910 + 11 + 12 + 13 = 1000.

El siguiente que podemos tratar de conseguir es el 1900 = 91 + 1809. Si dividimos 1809 entre 99, obtenemos 18. El mayor número que podemos utilizar es 12, de forma que podemos conseguir 12*99 = 1188, y sólo nos queda lograr 621. Tanteando un poco, nos daremos cuenta que si quitamos el signo de detrás de 6 sumamos 6*9, pero si además quitamos el de delante, sumaremos 5*99, con lo que conseguimos 5*99 + 6*9 = 549. Con esta operación, sólo nos queda lograr 72 más, que podemos lograr quitando el signo de la derecha de 8 (ya que 8*9 = 72). Es fácil comprobar que 1 + 2 + 3 + 4 + 567 + 89 + 10 + 11 + 1213 = 1900.

Los demás múltiplos de 100 intermedios no se pueden conseguir.