domingo, 28 de febrero de 2010

Un sistema de ecuaciones

Enunciado

Este tipo de problemas con un sistema tan simétrico suele tener siempre una solución similar. Empecemos por suponer que los cuadrados de los tres números x, y, z, son iguales. En ese caso, las tres ecuaciones se resumirían en una única ecuación, x2 + √(x2 + 12)=√(x2 + 60).

Evidentemente, para resolverla debemos elevar al cuadrado, obteniendo que x4 + x2 + 12 + 2x2√(x2+12)=x2 + 60.

Simplificando, podemos asegurar que 2x2√(x2+12)= 48 - x4. Y de nuevo elevamos al cuadrado, de forma que 4x4(x2+12)= 2304 - 96x4 + x8, es decir, 4x6 + 48x4 = 2304 - 96x4 + x8.

Si pasamos todos los términos al mismo extremo de la igualdad, obtenemos que 0 = x8 - 4x6 - 144x4 + 2304. Evidentemente, trataremos de reducir el grado de este polinomio cambiando x2 por t, logrando el polinomio de grado cuatro 0 = t4 - 4t3 - 144t2 + 2304. Tratando de factorizar por el método de Rufini este polinomio sólo obtendríamos la raíz positiva 4 (aunque también existe otra en las proximidades de 13,646). Aquí, he de reconocer que no sé como obtener esta solución o una expresión de ella sin calculadora.

Ahora bien, esa solución da lugar a una falsa solución de la ecuación inicial, ya que como veremos más adelante sólo es válida una solución positiva, y t = 4, o x = 2 lo es. Evidentemente, valdrá cualquier signo para la x, la y o la z, con lo cual eso da lugar a 8 soluciones (2,2,2), (2,2,-2), (2,-2,2), ... , (-2,-2,-2).

¿Porqué no son válidas soluciones con x, y, z de cuadrados distintos. Bien, supongamos que existen tres soluciones con x2 < y2 < z2 (podemos situarnos en el caso en que sólo una de las desigualdades es estricta). En ese caso, está claro que x2 = √(y2 + 60) - √(x2 + 12) = 48/(√(y2 + 60) + √(y2 + 12)) > 48/(√(z2 + 60) + √(z2 + 12)) = y2. De la misma forma, encontraríamos contradicciones en cualquier otra situación de desigualdad. Es más, si no se nos ocurre esta forma de trabajar con las fracciones, siempre podríamos razonar sobre propiedades de la función raíz.

Sobre el motivo por el que no hay otra raíz válida, podemos volver a una igualdad parecida con la ecuación inicial, que t = 48/(√(t + 60) + √(t + 12)), y razonando sobre intervalos de crecimiento de ambas expresiones para la rama positiva de las t (recuerda que t = x2).

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