Encuentra el número

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En los comentarios ya se ha explicado un poco cómo se hace.

Si la suma da un número de tres cifras, no puede ser que la suma de la primera y la última cifra dé un número mayor de 9, por lo que no habrá cifra extra que "llevar". Ni en la primera ni en la última columna, ya que se suman las mismas dos cifras. Eso quiere decir que el resultado de sumar las dos centrales tampoco debe llevar ninguna, y el resultado final será el doble de la cifra que estuviese al principio en medio.

Si la cifra central es un 1, las otras dos deben ser unos para sumar también 2 (esto se considera un caso no válido, por ser iguales las cifras de los extremos): 111.

Si la cifra central es un 2, al final se convertirá en un 4, que puede ser suma de 1 y 3, así que puede ser el 123, el 321 o (no vale) el 222.

Si la cifra central es un 3, al final se convertirá en un 6, que puede ser suma de 1 y 5 o 2 y 4, así que puede ser el 135, el 234, el 432, el 531 o (no vale) el 333.

Si la cifra central es un 4, al final se convertirá en un 8, que puede ser suma de 1 y 7, 2 y 6, o de 3 y 5 así que puede ser el 147, el 246, el 345, el 543, el 642, el 741 o (no vale) el 444. La cifra central no puede ser otra, pues habría "arrastre" al sumar.

En los comentarios Luis Langon sugiere que se pueden dar soluciones con las tres cifras iguales, o con una última cifra igual a cero. Es cierto, aunque se pierde un poco la lógica de la situación, ya que se puede interpretar que "cambiar las cifras" no tiene sentido si son iguales, o que escribir un número de tres cifras con una primera cifra igual a cero es incorrecto. Si admites estas situaciones, lógicamente, el número de soluciones aumenta, y no está mal, sólo quería advertir que hay que matizar si lo admitimos o no. Gracias por comentar.