domingo, 14 de febrero de 2010

Un triángulo dentro de un cuadrado

Enunciado

Este problema es bastante original y hay varios métodos para abordarlo.

Podríamos razonar sobre áreas mínimas, y razonando que si un triángulo tiene los tres lados más grandes que el cuadrado en que está contenido, contiene el centro.

Otro razonamiento, que puede servir en muchas ocasiones es distribuir los puntos en zonas, de forma que dos acaben en la misma zona, y que las zonas tengan longitud máxima conocida.

Triángulo dentro de un cuadrado

Triángulo dentro de un cuadrado

En este caso, sólo disponemos de tres puntos, pero puesto que no contiene el centro, podemos dividir el cuadrado en dos, por una línea que atraviese el centro y que sea paralela al lado más próximo a este (no es necesario que sea paralela, basta con que no corte a ese lado, realmente). Ahora, tenemos tres puntos en medio cuadrado.

Supongamos que trazamos ahora otra línea desde el centro, perpendicular a la primera. El medio cuadrado queda dividido en dos fragmentos iguales, y dos de los vértices del cuadrado quedan dentro de uno de los dos lados.

Basta demostrar que las longitudes máximas dentro de esas zonas, dos cuadriláteros, es decir, sus diagonales, son menores que el lado del cuadrado.

Una de las diagonales es media diagonal del cuadrado, que es igual a √2/2 por el lado, que es claramente menor que el lado. La otra diagonal es la diagonal de un triángulo rectángulo. En ese triángulo, si un cateto mide d, el otro mide l - d, donde l es el lado (usando triángulos semejantes). Por lo tanto, la suma de los cuadrados de d y (l - d) será d2 + d2 - 2ld +l2 = l2 + 2dl(d - l), pero d - l es negativo, por lo que este valor es menor que l2, por lo que esa diagonal es, necesariamente, menor que l.

Observa que podría darse el caso en que d sea l, por lo que debemos elegir la línea inicial de corte de forma que no se trate de la diagonal, ya que no es imprescindible que sea paralela al lado, sino que hay un margen para el ángulo con el que trazamos el primer segmento.