Ceros anteriores

Enunciado

Empecemos por saber cuál es la última cifra. Observamos que la última cifra de un producto depende exclusivamente de la última cifra de los factores, en este caso, multiplicar 2009 por 2009 tendrá al 1 como última cifra, ya que esa es la última cifra de 9 por 9. Así, uc(2009²) = 1. De la misma forma, la última cifra de 2009⁴ es 1, y también la última cifra de 2009²ⁿ para cualquier valor natural de n. Por eso, 2009²⁰¹¹ acaba en 9.

Ahora, para saber cuántos ceros hay delante del 9 es necesario calcular unas cuantas cifras más. Empecemos por calcular las dos últimas. Está claro que las dos últimas cifras de 2009² coinciden con las de 9², es decir, con 81. De la misma forma, las dos últimas cifras de 2009²⁰¹¹ coincidirán con las dos últimas cifras de 9²⁰¹¹. Para trabajar con sucesivas potencias Una forma de trabajar con estas potencias es escribir 9 = 10 - 1 y desarrollarlo como la potencia de una suma, según la forma del binomio de newton. Esto es así porque a partir del tercer término nos da igual el coeficiente que lleven, pues al ir multiplicados por una potencia mayor que 2 de 10, acaban en 2 ceros. Los últimos dos términos serán 2011*10 - 1, con lo que acabará en 09. Ya sabemos que al 9 le precede al menos un cero.

Procedemos ahora a averiguar la tercera cifra de forma similar. De nuevo, consideramos que las tres últimas cifras de 2009ⁿson las mismas que las de 9ⁿ, pues no influyen otras cifras. Y de nuevo usamos el desarrollo de (10 - 1)²⁰¹¹, en esta ocasión tomando los tres últimos términos (los otros van multiplicados por una potencia de 10 que acaba en al menos tres ceros). Así, debemos calcular los tres últimos términos de -(2011*2010/2)*100 + 2011*10 - 1 = -202105500 + 20110 - 1. Si miramos las últimas tres cifras, serán -500 + 110 - 1 = -391. Evidentemente, esta cifra no será negativa, sino que irá restada de un número aún más grande que acaba en al menos tres ceros, por lo que sus tres últimas cifras serán las mismas que las de 1000 - 391 = 609. Así, sabemos que sólo hay un cero precediendo al 9, y delante tiene un 6.

Ha sido una suerte que no hemos tenido que trabajar con la base completa de la potencia, lo que habría complicado enormemente el cálculo.

También se pueden buscar regularidades en las cifras de la potencia, aunque tal vez llevaría demasiado tiempo.