Llenar y tapar un rectángulo

Enunciado

Proceso de construcción

Este problema es muy original, y no es fácil dar sin ninguna pista con la estrategia adecuada. Se basa en que un rectángulo, como pasa con los triángulos, siempre se pueden dividir de forma exacta en cuatro rectángulos semejantes con dimensiones a escala 1/2.

Imagina que puedes llenar un rectángulo con n círculos de radio r. Eso significa que no puedes situar en el rectángulo el centro de otro círculo de radio r sin que se solape (es decir, si que tenga intersección) con alguno de los círculos que ya están en él. Dicho de otra forma, cualquier punto de un rectángulo está a menos distancia que r de uno de los círculos, es decir, que si hacemos los círculos de tamaño 2r, taparemos por completo el rectángulo.

Es cierto que un círculo no puede dividirse en cuatro círculos, pero ahora es cuando vamos a jugar con las semejanzas. Cuando tenemos un rectángulo tapado con círculos de radio 2r, construyamos una figura semejante a escala 1/2. Obtenemos un rectángulo cuyo ancho y alto miden exactamente la mitad, y que está completamente tapado por n círculos de radio r. Ahora, construyamos otros tres exactamente iguales, y los disponemos tapando el rectángulo original de la forma evidente (dos arriba y dos abajo), respetando la situación de los n círculos en cada uno de ellos. Tenemos, por tanto, un rectángulo exactamente igual que el original, pero tapado por 4n círculos de radio r.