sábado, 10 de diciembre de 2011

Números en fila

Enunciado

La clave, como dice Pablo Sussi, es contar cuantas veces se repite el proceso hasta llegar a poner el número que ocupa la posición 2011.

Primero ponemos un número, luego, dos, luego tres, y así sucesivamente.

Lo primero que tenemos que contar es qué suma de la forma 1 + 2 + 3 + ... + n es la última menor que 2011.

Para sumar esos números, emparejamos cada uno con el último (es decir, 1 con n, 2 con n - 1, y así sucesivamente. De esta forma, conseguimos n sumas iguales, aunque repetiremos todos 2 veces, es decir, que la suma será n*(n + 1)/2.

También podemos ver que las diferencias entre una etapa y otra son las mismas que el polinomio n2/2 + n/2.

En cualquier caso, aunque sea por tanteo, vemos que si sumamos hasta 62, tenemos que 1 + 2 + ... + 61 + 62 = 1953, es decir, que a partir de la posición 1954 empieza una etapa de 63 números. En esta serie, la posición 2011 la ocupa precisamente el número 58.

Casi habría sido más cómodo empezar desde el final esta etapa.

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