viernes, 17 de febrero de 2012

El DNI en Torrelandia

Enunciado

Busquemos todas las soluciones posibles. Como el número, cada vez que lo recortemos para tener dos, cuatro, seis y ocho dígitos, es divisible por un número par, los únicos cuatro posibles dígitos pares (2, 4, 6, 8) ocupan esas posiciones, mientras que los cinco restantes ocupan las posiciones impares. Por las mismas razones, el quinto dígito no tiene más remedio que ser el cinco.

Para los dos primeros números tenemos, por tanto, 16 posibilidades: 12, 14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 72, 74, 76, 78, 92, 94, 96 y 98.

La tercera cifra debe ser impar, y sumar un múltiplo de 3 con las dos primeras. Así, algunas posibilidades quedan eliminadas, y otras tienen dos opciones: 123, 129, 147, 183, 189, 321, 327, 369, 381, 387, 723, 729, 741, 783, 789, 921, 927, 963, 981 y 987.

Si nos fijamos en que el número siguiente debe ser múltiplo de 4, sólo puede ser 2 o 6, por lo que casi duplica las posibilidades: 1236, 1296, 1472, 1476, 1832, 1836, 1892, 1896, 3216, 3276, 3692, 3812, 3816, 3872, 3876, 7236, 7296, 7412, 7416, 7832, 7836, 7892, 7896, 9216, 9276, 9632, 9812, 9816, 9872 y 9876.

El siguiente está claro que es un 5, y el siguiente número par debe sumar también un múltiplo de 3. Las posibilidades son 123654, 129654, 129654, 147258, 183654, 189654, 321654, 327654, 369258, 381654, 387654, 723654, 729654, 741258, 783654, 789654, 921654, 927654, 963258, 981654 y 987654.

Ahora, vamos a usar nuestra calculadora, para ir dividiendo entre 7 y calcular cuál ha de ser la cifra siguiente, para conseguir que sea divisible entre siete. Observa que esto es más difícil de lo que parece, porque debe ser un número impar diferente de 5 y que no esté repetido. Sólo quedan las siguientes posibilidades: 1296547, 1296547, 1472583, 3216549, 3816547, 7296541, 7836549, 9216543 y 9632581.

Ahora, necesitamos un dígito más, que haga que el resultado sea múltiplo de 8. En realidad, basta que, como antes, usemos el 2 y el 6. Siempre y cuando no estén repetidos, claro. Sólo nos queda 38165472. Ahora bien, el último número es fácil de poner, el que falta, ya que siempre sumará lo mismo y será un múltiplo de 9, en definitiva, 381654729.

Posiblemente nos habríamos ahorrado mucho trabajo si hubiésemos notado que el 2 y el 6 deben estar en las posiciones 4 y 8.

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