Un triángulo en un cuadrilátero

Enunciado

Este problema es bastante complicado, pues las relaciones entre los elementos que aparecen pueden parecer confusas, y a veces hay que tener en cuenta demasiados valores. Hagamos, en primer lugar, un dibujo de cómo quedaría la construcción.

Dibujo cuadrilátero

Tengamos en cuenta en esta construcción que O1 y O2 son incentros de triángulos, por lo que los segmentos que los unen con los vértices parten el ángulo del triángulo en dos ángulos iguales (bisectrices).

Los primeros intentos que se deben realizar se basan en convertir, mediante ángulos suplementarios y ángulos del interior de un triángulo, los ángulos EMN y ENM en dos expresiones que involucren a los ángulos exteriores (los ángulos del cuadrilátero original), para poder comprobar su igualdad. Sin embargo, tras muchos intentos, he descartado este método directo, buscando otras relaciones. Si alguien lo lleva a buen término, me gustaría que lo comentase.

La otra relación que se necesita y se puede encontrar es mucho más difícil de descubrir. En primer lugar, se trata de ver que los ángulo BO₁A y BO₂A son iguales. En efecto, BO₁A = π - O₁BA - O₁AB = π - CBA/2 - CAB/2 = π - (π - BCA - CAB)/2 - CAB/2 = π - π/2 + BCA/2 + CAB/2 - CAB/2 = π/2 + BCA/2.

De la misma forma, BO₂A = π/2+ BDA/2.

Sin embargo, por ser el cuadrilátero inscrito, los ángulos BCA y BDA son iguales, así que también lo son BO₁A y BO₂A. Esto, de por sí, es un hecho sorprendente que habría bastado como objetivo del problema, pero no hemos encontrado aún la solución completa. Por ser ángulos iguales, los puntos A, B, O₁ y O₂ están en la misma circunferencia, es decir, forman un cuadrilátero inscrito. Y, por ello, sus ángulos opuestos suman π (180 grados sexagesimales en radianes), es decir, son suplementarios.

Ahora vamos a trabajar con los ángulos que verdaderamente nos interesan. El ángulo EMN = π - BMO₁= π - (π - BO₁M - MBO₁) = BO₁M + MBO₁ = π - BO₁O₂ + MBO₁.

La propiedad que necesitamos del cuadrilátero ABO₁O₂ se aplica en este momento: sus ángulos opuestos son suplementarios (suman pi). De esta forma, EMN = π - (π - BAO₂) + MBO₁ = BAO₂ + MBO₁ = BAD/2 + DBA - CBA/2. Como se puede ver, logramos nuestro objetivo de representar el ángulo mediante ángulos del cuadrilátero original.

Por otra parte, ENM = π - ANO2 = π - (π - NO₂A - NAO₂) = π - π + NO₂A + NAO₂ = π - AO₂O₁ + NAO₂.

De nuevo, aplicamos que los ángulos opuestos del cuadrilátero ABO₁O₂ son suplementarios. Así, ENM = π - (π - O₁BA) + NAO₂ = O₁BA + NAO₂ = CBA/2 + CAB - DAB/2.

Ahora es cuando tratamos de ver si ambos son o no iguales, restando sus expresiones, por lo que EMN - ENM = BAD/2 + DBA - CBA/2 - CBA/2 - CAB + DAB/2 = DAB + DBA - CBA - CAB = π - BDA - π + BCA = BDA - BCA = 0, pues son vértices de triángulos de la misma base inscritos en la misma circunferencia.

Nota: también podría darse el caso de que uno de los puntos O1 y O2, o incluso ambos, estuviesen en el exterior del segmento MN, en cuyo caso el razonamiento tendría que revisarse con mucho cuidado, aunque es cierto en esos casos también.

Desde luego, los pasos dados no son sencillos de descubrir, y a mí me ha llevado mucho tiempo descubrir las relaciones, a pesar de lo cual se pueden sacar ideas de este problema para enfrentarnos a situaciones similares.

Sudoku

Enunciado

Como todos los sudokus, se trata de descifrar qué número podemos poner en cada casilla que no entre en contradicción con las reglas y los que ya hemos puesto.

Por si os puede ayudar, para resolverlo yo he puesto primero dos doses, después todos los treses y los cuatros, un cinco, todos los sietes, ochos y nueves, y por último, los unos, doses y los cincos, para finalizar cubriendo los escasos huecos que quedaban. El resultado puedes verlo en la imagen.

Solución del sudoku

Un cuadrado con rectángulos

Enunciado

Este ejercicio es idéntico al que se plantea en un cuadrado en cinco rectángulos, para segundo ciclo, que puede que no hayas visto.

Voy a utilizar la misma solución, pues es sencilla de seguir. De manera similar, se pueden plantear otros problemas de combinatoria geométrica, una especie de rompecabezas que consisten en componer una figura a partir de otras de tamaños conocidos.

Puesto que sabemos las áreas y los lados, basta que empecemos a asociar los que pueden dar como resultado ese producto.

Lo primero que debemos hacer es confirmar que tenemos área para cubrir los 121 centímetros cuadrados que se nos pide. En efecto, 9 + 16 + 18 + 28 + 50 = 121

Por ejemplo, 9 centímetros cuadrados sólo podría obtenerse multiplicando 3 por 3 o 9 por 1, puesto que los lados son números enteros. Como cada lado mide una cantidad distinta, este rectángulo debe ser de 9 por 1 centímetros.

De forma similar, 16 no puede ser más que 2 por 8.

El cuadrado de área 50 se puede conseguir únicamente multiplicando 5 por 10, porque los dos factores han de estar entre 1 y 10.

También es sencillo 28, que debe ser 4 por 7.

Y los dos lados que sobran, 3 y 6, forman el rectángulo de 18.

Juntamos los dos más largos

¿Cómo colocar los cuadrados? Empezamos con el de lado 10, que tiene casi la longitud del cuadrado completo. La única forma de completar 11 es que situemos junto a él el rectángulo de lado 1 por 9, como indica la primera figura. Evidentemente, lo podemos girar y desplazar hasta ponerlo en varias posiciones, pero todas son equivalentes.

Tercer rectángulo

Ahora, entre el rectángulo de lado 9 y 11, que es el lado del cuadrado, debemos poner el rectángulo de lado 2 por 8, y esto se puede hacer de dos formas, que en realidad son la misma, vista en un espejo, salvo desplazamientos de la pieza más grande. Se trata de la segunda figura.

Como antes, entre el lado 8 y el resto del cuadrado únicamente podemos poner el rectángulo de tamaño 3 por 6.

Cuadrado completo

Enunciado

Evidentemente, podemos comprobar que el hueco que queda en el centro de estos cuatro rectángulos mide, en área, lo mismo que el rectángulo que nos sobra, como no podía ser de otra forma, por la suma que hicimos antes. Lo más curioso es que realmente también coincidan sus lados, como podemos comprobar, sumando 11 entre todos.

El reino sin 3

Enunciado

Como hemos visto, al faltarles una cifra, cuando llegan al 4 en realidad tienen 3 de los nuestros, por lo que su 10 en realidad es nuestro 9. De la misma forma, se saltan un número entre el 12 y el 14, por lo que su 14 es nuestro 12. De esta forma, llegan a 29 cuando en realidad tienen 26 objetos (saltan 1 de cada 10). Sin embargo, no pueden usar 30 ni ninguno de los números de esta decena, pues no conocen el 3, así que el número que seguirá a 29 será el 40, equivalente a nuestro 27 (de repente nos "retrasaremos" 10 números).

De esta forma, cuando lleguen al 99, arrastrarán una diferencia de 10 por la decena del 29 al 40 y otros 9 por los saltos que habrán dado en cada decena (una por cada cifra de las decenas, y otra por la primera decena de los números con una cifra). Su 99 equivaldrá, entonces, a nuestro 80. Otra forma de pensarlo sería que han usado todas las parejas de cifras entre el 0 y el 9, sin contar el 3, que son 9 (con el 0 delante se forman los de una sola cifra). Eso haría un total de números de 9*9 = 81, pero como también he contado el 00, pues voy por el número 80.

El caso, es que su 100 es nuestro 81. Nos quedan sólo contar 19 para llegar al 100. Pero si les añadimos 19 números de los suyos, hay que tener en cuenta que no cuentan ni el 103, ni el 113, es decir, que en realidad es el 121 suyo el que vale lo mismo que para nosotros 100.

No es casualidad que 121 en nuestra forma de contar sea 11*11, pero esas coincidencias las podrás ver en otro lugar, si alguna vez descubres otras bases numéricas y formas de contar.

Tres números especiales

Enunciado

A esta terna de números podría unirse el 21, que es 3¹7¹. Con eso, serían 4 números consecutivos cuya descomposición está formada por primos elevados a potencia impar. No podríamos añadir más, ni por bajo (20 = 2²5) ni por arriba (25 = 5²).

¿Habrá, entre todos los números naturales algún grupo de 5 números con esa propiedad?

El principal problema que puede aparecer es el primo más pequeño (el 2), que aparecerá varias veces (en nuestro ejemplo, en 2 ocasiones). Por supuesto, podría aparecer incluso más, hasta tres ocasiones, siempre y cuando el del centro fuese mayor e impar, como en el ejemplo. Podemos hacer una búsqueda entre los múltiplos de 8.

El propio 8 nos proporciona poca ayuda, al tener el 9 a continuación.

El 16 es una potencia par en sí mismo.

Si probamos con 32 = 2⁵, descubrimos que tiene a su lado a 31 = 31¹ y a 33 = 3¹11¹. Más allá, encontramos 30 = 2¹3¹5¹ y 34 = 2¹17¹. También podemos añadir el 35 = 5¹7¹ y el 29 = 29¹. En total, son 7 números con la propiedad que hemos buscado.

Si seguimos, no encontraremos cadenas más largas. Del 37 al 43, centrada en 40 encontramos otra de 7.

De 53 a 59 encontramos otra cadena de 7, centrada en el 56, pero siempre están limitadas por potencias pares de 2. ¿Sucederá siempre?

Efectivamente, si tuviésemos 8 números con esa propiedad, uno de ellos sería múltiplo de 8 (sus restos al dividir serían todos distintos, y sólo puede haber 8, así que uno de ellos sería 0). Como son 8, podemos avanzar o retroceder 4 desde él, y volveríamos a encontrar a un múltiplo de 4, pero que no puede ser un múltiplo de 8 (está a sólo 4 unidades de uno). De esta forma, el exponente de 2 debe ser 2 (no puede ser mayor), es decir, par. Nuestro mejor resultado lo logramos poniendo el múltiplo de 8 en el centro, para no poder avanzar ni retroceder 4, como hemos visto, ya que siempre se obtienen potencias de 2 de exponente par al hacerlo.

Un cuadrado en cinco rectángulos

Enunciado

Este problema es muy sencillo de plantear. Puesto que sabemos las áreas y los lados, basta que empecemos a asociar los que pueden dar como resultado ese producto.

Lo primero que debemos hacer es confirmar que tenemos área para cubrir los 121 centímetros cuadrados que se nos pide. En efecto, 9 + 16 + 18 + 28 + 50 = 121

Por ejemplo, 9 centímetros cuadrados sólo podría obtenerse multiplicando 3 por 3 o 9 por 1, puesto que los lados son números enteros. Como cada lado mide una cantidad distinta, este rectángulo debe ser de 9 por 1 centímetros.

De forma similar, 16 no puede ser más que 2 por 8.

El cuadrado de área 50 se puede conseguir únicamente multiplicando 5 por 10, porque los dos factores han de estar entre 1 y 10.

También es sencillo 28, que debe ser 4 por 7.

Y los dos lados que sobran, 3 y 6, forman el rectángulo de 18.

Juntamos los dos más largos

¿Cómo colocar los cuadrados? Empezamos con el de lado 10, que tiene casi la longitud del cuadrado completo. La única forma de completar 11 es que situemos junto a él el rectángulo de lado 1 por 9, como indica la primera figura. Evidentemente, lo podemos girar y desplazar hasta ponerlo en varias posiciones, pero todas son equivalentes.

Tercer rectángulo

Ahora, entre el rectángulo de lado 9 y 11, que es el lado del cuadrado, debemos poner el rectángulo de lado 2 por 8, y esto se puede hacer de dos formas, que en realidad son la misma, vista en un espejo, salvo desplazamientos de la pieza más grande. Se trata de la segunda figura.

Como antes, entre el lado 8 y el resto del cuadrado únicamente podemos poner el rectángulo de tamaño 3 por 6.

Cuadrado completo

Evidentemente, podemos comprobar que el hueco que queda en el centro de estos cuatro rectángulos mide, en área, lo mismo que el rectángulo que nos sobra, como no podía ser de otra forma, por la suma que hicimos antes. Lo más curioso es que realmente también coincidan sus lados, como podemos comprobar, sumando 11 entre todos.

Padre e hijo

Enunciado

El producto de las dos edades es 1003, la mitad de 2006, puesto que el doble sería el año 2006.

¿Qué factores podemos encontrar que puedan corresponder a edades y proporcionar 1003? Evidentemente, 1 y 1003 no valen, salvo que hablemos de un padre muy especial. Y 1003 sólo es divisible, además, por 17 y 59. Es decir, que debe ser 17*59 = 1003, y las edades son 59 y 17. Está claro que el hijo debe ser el más joven.

Mensaje secreto

Enunciado

Como los números de arriba tienen que ser suma de los de abajo, el 9 es uno de los números de arriba seguro ¿no? Sin embargo, no estamos seguros de si debe ir en un extremo o en uno de los del centro.

Supongamos que está en un extremo. El del extremo inferior podría ser un 1, pero entonces el inmediato sería un 8, y no podríamos poner nada al lado.

Con un 9 arriba, y un 2 en el extremo de abajo, hemos de poner un 7, y junto a el un 1 (arriba un 8). Junto al 1 podríamos poner un 3 (arriba un 4), pero junto al 3 no podemos poner nada, pues sólo quedan un 5 y un 6.

Otra posibilidad sería poner un 4 (arriba un 5), pero de nuevo no podemos poner el 3 y el 6.

Si ponemos el 5 (arriba el 6), nos quedamos sin poner el 3 y el 4.

Por tanto, con el 9 en el extremo hemos de usar por lo menos un 3 abajo. Junto a él, un 6. Si al lado del 6 ponemos un 1 (un 7 arriba), nos quedan 2, 4, 5 y 8, por lo que tendríamos que poner el 4 junto al 1 y no podemos situar los otros.

Si junto al 6 ponemos un 2 (un 8 arriba), nos quedan 1, 4, 5 y 7. Tenemos que poner un 5 y de nuevo nos quedamos sin poner nada más. Luego tampoco podemos poner un 3 en el extremo.

Con el 9 en el extremo, ponemos un 4 en el extremo de abajo. Junto a él, un 5. Al lado del 5 puede ir un 1 (arriba un 6). Nos quedan 2, 3, 7 y 8. Si ponemos el 2 no podemos poner los otros, y tampoco si ponemos el 7. Luego un 1 no puede ir junto al 5.

Si junto al 5 ponemos un 2, arriba va un 7. Nos quedan 1, 3, 6 y 8. De nuevo fracasamos al poner tanto un 1 como un 6.

Si junto al 5 ponemos un 3, arriba va un 8. Nos quedan 1, 2, 6 y 7. No podemos seguir. El 4 queda eliminado como candidato al extremo.

Si, con el 9 en el extremo ponemos un 5, junto a él un 4, junto al 4 podemos poner un 2 (arriba un 6). Nos quedan 1, 3, 7 y 8. Tendríamos que poner el 1 (arriba un 3) y un 7 al lado (8 arriba).

Primera solución

Este podría ser nuestro número (963854217), aunque también valdría escrito al contrario, (836971245).

¿Sería el único resultado? Junto al 4 podríamos poner también un 3 (7 arriba). Sobran 1, 2, 6 y 8. Ninguno puede ir junto al 3.

Ahora, con el 9 en un extremo, ponemos un 6 en el extremo de abajo, junto a un 3. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 4), y sobran 2, 5, 7 y 8. Sólo podemos poner el 7 y luego no podemos seguir.

También podemos poner un 2 (5 arriba). Sobran 1, 4, 7 y 8. No podemos poner ninguno más.

También podemos poner un 4 (7 arriba). Sobran 1, 2, 5 y 8. Podemos poner el 1 junto al 4, pero nada más.

También podemos poner un 5 (8 arriba). Sobran 1, 2, 4 y 7. Podemos poner el 2 junto al 5, pero nada más.

Ya queda menos. Con el 9 en un extremo, ponemos un 7 en el extremo de abajo, junto a un 2. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 3), y sobran 4, 5, 6 y 8. Si ponemos el 4, o el 5 nos quedan números sin poner.

Si junto al 2 ponemos un 3 (arriba un 5), sobran 1, 4, 6 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 4 (arriba un 6), sobran 1, 3, 5 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 6 (arriba un 8), sobran 1, 3, 4 y 5. No podemos poner ninguno más.

Acabamos con el 9 en un extremo, poniendo un 8 en el extremo de abajo. Junto a él, va un 1. Al lado del 1 podemos poner un 2 (arriba un 3), con lo que quedan 4, 5, 6 y 7. Sólo podemos poner el 4, pero no seguimos adelante.

Si junto al 1 ponemos un 3 (arriba un 4), sobran 2, 5, 6 y 7. Podríamos poner un 2, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 1 ponemos un 4 (arriba un 5), sobran 2, 3, 6 y 7. Podríamos poner un 2 o un 3, pero no llegaríamos más lejos en ninguno de los dos casos.

Si junto al 1 ponemos un 5 (arriba un 6), sobran 2, 3, 4 y 7. Podríamos poner un 2, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 1 ponemos un 6 (arriba un 7), sobran 2, 3, 4 y 5. No podemos poner más.

Así, no hay más soluciones con el 9 en un extremo. Si ocupa una de las posiciones centrales, hay que repetir todo el razonamiento, poniendo a un lado y a otro de los que tenemos (ocupamos primero el sitio más próximo al extremo, y por último los extremos). Vamos a repetirlo, para ver si queda algún otro número.

El número inferior podría ser un 1, pero entonces el inmediato sería un 8, y no podríamos poner nada al otro lado.

Con un 9 arriba, y un 2 en el lateral de abajo, hemos de poner un 7, y junto a el un 1 (arriba un 8). Junto al 1 podríamos poner un 3 (arriba un 4), pero junto al 2 no podemos poner nada, pues sólo quedan un 5 y un 6.

Otra posibilidad sería poner un 4 (arriba un 5), pero de nuevo no podemos poner el 3 y el 6.

Si ponemos el 5 (arriba el 6), nos quedamos sin poner el 3 y el 4.

Por tanto, con el 9 en una posición central hemos de usar por lo menos un 3 abajo. Junto a él, un 6. Si al lado del 6 ponemos un 1 (un 7 arriba), nos quedan 2, 4, 5 y 8, por lo que tendríamos que poner el 4 junto al 1 y no podemos situar los otros.

Si junto al 6 ponemos un 2 (un 8 arriba), nos quedan 1, 4, 5 y 7. Tenemos que poner un 5 y al otro lado, junto al 3, el 1 y el 4.

Segunda solución

Aquí tenemos entonces otro par de soluciones, 498713625 y 789452631. Pero aún no hemos agotado las posibilidades.

Con el 9 en una posición central, ponemos un 4 en el más próximo al extremo de abajo. Junto a él, un 5. Al lado del 5 puede ir un 1 (arriba un 6). Nos quedan 2, 3, 7 y 8. Si ponemos el 2 no podemos poner los otros, y tampoco si ponemos el 7. Luego un 1 no puede ir junto al 5.

Si junto al 5 ponemos un 2, arriba va un 7. Nos quedan 1, 3, 6 y 8. De nuevo fracasamos al poner tanto un 1 como un 6.

Si junto al 5 ponemos un 3, arriba va un 8. Nos quedan 1, 2, 6 y 7. No podemos seguir. El 4 queda, por tanto, eliminado como candidato.

Si, con el 9 en una posición central, ponemos un 5, junto a él un 4, junto al 4 podemos poner un 2 (arriba un 6). Nos quedan 1, 3, 7 y 8. Tendríamos que poner el 1 (arriba un 3) y los otros no se pueden poner al otro lado.

Junto al 4 podríamos poner también un 3 (7 arriba). Sobran 1, 2, 6 y 8. Ninguno puede ir junto al 3.

Ahora, con el 9 en una posición central, ponemos un 6 en el más próximo al extremo de abajo, junto a un 3. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 4), y sobran 2, 5, 7 y 8. Sólo podemos poner el 7 y luego no podemos seguir.

También podemos poner un 2 (5 arriba). Sobran 1, 4, 7 y 8. No podemos poner ninguno más.

También podemos poner un 4 (7 arriba). Sobran 1, 2, 5 y 8. Podemos poner el 1 junto al 4, y el 2 al lado del 6, con el 8 arriba.

Tercera solución

Aquí tenemos entonces otro par de soluciones, 897526341 y 579814362. Pero aún pueden quedar más.

También podemos poner un 5 (8 arriba). Sobran 1, 2, 4 y 7. Podemos poner el 2 junto al 5, pero nada más.

Ya queda menos. Con el 9 en en una posición central, ponemos un 7 en el más próximo al extremo de abajo, junto a un 2. Al lado podemos poner un 1 (arriba el 3), y sobran 4, 5, 6 y 8. Si ponemos el 4, o el 5 nos quedan números sin poner.

Si junto al 2 ponemos un 3 (arriba un 5), sobran 1, 4, 6 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 4 (arriba un 6), sobran 1, 3, 5 y 8. Podríamos poner un 1, pero no llegaríamos más lejos.

Si junto al 2 ponemos un 6 (arriba un 8), sobran 1, 3, 4 y 5. No podemos poner ninguno más.

Pero con el 9 en una posición central, no podemos poner un 8 abajo, porque tendría dos números a los lados y eso no puede ser.

En definitiva, que tenemos 6 números posibles: 963854217, 836971245, 498713625, 789452631, 897526341 y 579814362. No son demasiados para un agente secreto.