Un triángulo en un cuadrilátero

Enunciado

Este problema es bastante complicado, pues las relaciones entre los elementos que aparecen pueden parecer confusas, y a veces hay que tener en cuenta demasiados valores. Hagamos, en primer lugar, un dibujo de cómo quedaría la construcción.

Dibujo cuadrilátero

Tengamos en cuenta en esta construcción que O1 y O2 son incentros de triángulos, por lo que los segmentos que los unen con los vértices parten el ángulo del triángulo en dos ángulos iguales (bisectrices).

Los primeros intentos que se deben realizar se basan en convertir, mediante ángulos suplementarios y ángulos del interior de un triángulo, los ángulos EMN y ENM en dos expresiones que involucren a los ángulos exteriores (los ángulos del cuadrilátero original), para poder comprobar su igualdad. Sin embargo, tras muchos intentos, he descartado este método directo, buscando otras relaciones. Si alguien lo lleva a buen término, me gustaría que lo comentase.

La otra relación que se necesita y se puede encontrar es mucho más difícil de descubrir. En primer lugar, se trata de ver que los ángulo BO₁A y BO₂A son iguales. En efecto, BO₁A = π - O₁BA - O₁AB = π - CBA/2 - CAB/2 = π - (π - BCA - CAB)/2 - CAB/2 = π - π/2 + BCA/2 + CAB/2 - CAB/2 = π/2 + BCA/2.

De la misma forma, BO₂A = π/2+ BDA/2.

Sin embargo, por ser el cuadrilátero inscrito, los ángulos BCA y BDA son iguales, así que también lo son BO₁A y BO₂A. Esto, de por sí, es un hecho sorprendente que habría bastado como objetivo del problema, pero no hemos encontrado aún la solución completa. Por ser ángulos iguales, los puntos A, B, O₁ y O₂ están en la misma circunferencia, es decir, forman un cuadrilátero inscrito. Y, por ello, sus ángulos opuestos suman π (180 grados sexagesimales en radianes), es decir, son suplementarios.

Ahora vamos a trabajar con los ángulos que verdaderamente nos interesan. El ángulo EMN = π - BMO₁= π - (π - BO₁M - MBO₁) = BO₁M + MBO₁ = π - BO₁O₂ + MBO₁.

La propiedad que necesitamos del cuadrilátero ABO₁O₂ se aplica en este momento: sus ángulos opuestos son suplementarios (suman pi). De esta forma, EMN = π - (π - BAO₂) + MBO₁ = BAO₂ + MBO₁ = BAD/2 + DBA - CBA/2. Como se puede ver, logramos nuestro objetivo de representar el ángulo mediante ángulos del cuadrilátero original.

Por otra parte, ENM = π - ANO2 = π - (π - NO₂A - NAO₂) = π - π + NO₂A + NAO₂ = π - AO₂O₁ + NAO₂.

De nuevo, aplicamos que los ángulos opuestos del cuadrilátero ABO₁O₂ son suplementarios. Así, ENM = π - (π - O₁BA) + NAO₂ = O₁BA + NAO₂ = CBA/2 + CAB - DAB/2.

Ahora es cuando tratamos de ver si ambos son o no iguales, restando sus expresiones, por lo que EMN - ENM = BAD/2 + DBA - CBA/2 - CBA/2 - CAB + DAB/2 = DAB + DBA - CBA - CAB = π - BDA - π + BCA = BDA - BCA = 0, pues son vértices de triángulos de la misma base inscritos en la misma circunferencia.

Nota: también podría darse el caso de que uno de los puntos O1 y O2, o incluso ambos, estuviesen en el exterior del segmento MN, en cuyo caso el razonamiento tendría que revisarse con mucho cuidado, aunque es cierto en esos casos también.

Desde luego, los pasos dados no son sencillos de descubrir, y a mí me ha llevado mucho tiempo descubrir las relaciones, a pesar de lo cual se pueden sacar ideas de este problema para enfrentarnos a situaciones similares.