Pintar triángulos

Enunciado

Tres colores invariantes

Lo primero que hay que tener en cuenta es que, si giramos el triángulo, a veces, coincidirá con otro y, por tanto, una forma de pintarlo puede coincidir con otra. Por eso, es importante considerar lo que pasa cuando lo giras. Fíjate en el triángulo coloreado con tres colores. He marcado de un mismo color los triángulos que coinciden cuando giran. Vamos a considerar en primer lugar los triángulos de los vértices, luego los interiores que están tocando un vértice y por último los del centro de los lados (aunque se pueden considerar en cualquier orden).

Triángulos externos

Por otra parte, pintar tres de un color oscuro y los seis restantes de un color claro es tanto como escoger tres. Mi primer intento va a ser el que tiene pintados de oscuro los tres vértices. Evidentemente, sólo hay una frorma de hacerlo.

Dos externos

En segundo lugar, si pintamos dos de los tres vértices, siempre los podemos girar para que estén "abajo", y el vértice sin pintar "arriba". Con esto, el triángulo queda inmovilizado. Una vez hecho esto, hay que elegir el tercer triángulo por pintar en un triangulito que no sea del vértice (hay seis). Por tanto, tenemos seis decoraciones diferentes. De momento, tenemos 6 + 1 = 7 posibilidades.

Un triángulo externo

Ahora, si pintamos uno sólo de los vértices, lo voy a situar arriba (para inmovilizar de nuevo el triángulo). Nos quedarán dos del centro por escoger para pintar de oscuro. Como son seis, tendremos muchas posibilidades. En concreto, quince, que podemos ver junto a estal líneas. De momento, tenemos 15 + 6 + 1 = 22 posibilidades.

Tres secundarios

Si no pintamos de oscuro ninguno de los vértices, vamos a considerar los tres triángulitos centrales pegados al vértices, y repetiremos el proceso. Tenemos, como primera posibilidad, los tres pintados de oscuro. De momento, tenemos 1 + 15 + 6 + 1 = 23 posibilidades.

Dos secundarios

La segunda, será pintar dos de oscuro, y uno de los tres restantes (recuerda que no podemos ya pintar los vértices). En total, tres posibilidades. De momento, tenemos 3 + 1 + 15 + 6 + 1 = 26 posibilidades.

Un secundario

Y la tercera, que sólo pintemos uno de oscuro, así que para pintar los otros dos tendremos otras tres posibilidades, puesto que hay que escogerlos entre los tres triangulitos que ni son vértices, ni están unidos a uno. De momento, tenemos 3 + 3 + 1 + 15 + 6 + 1 = 29 posibilidades.

Últimos tres

Por último, si resulta que tampoco pintamos los tres triangulitos unidos a los vértices de oscuro, hay que escoger los tres restantes para pintarlos de oscuro, de donde sacamos la última posibilidad. En total, 1 + 3 + 3 + 1 + 15 + 6 + 1 = 30 posibilidades.

En realidad hay muchas formas de ordenar estas treinta decoraciones, pero es importante centrarse en una para detectar y evitar repeticiones. La técnica que se ha usado consiste en separar los casos según su simetría, para detectar rápidamente cuando dos decoraciones son la misma.