domingo, 14 de octubre de 2007

Raíces que suman enteros

Enunciado

Este problema despista un poco. Aparentemente no hay manera de simplificar la expresión, quitar las raíces, para sacar alguna conclusión sobre la si el resultado sale o no entero.

Sin embargo, a pesar de ser una suma, lo que inmediatamente nos puede venir a la cabeza al ver tantas raíces es "de alguna manera, hay que elevar al cuadrado".

Si el resultado de la expresión es un entero, su cuadrado también lo será (lo contrario no siempre es cierto). Veamos qué expresión tiene ese cuadrado.

Es sencillo comprobar que al elevar al cuadrado cada uno de los sumandos eliminamos la raíz externa, y las internas quedan sumadas con signo contrario, es decir, que se anulan. El valor de la suma de estos dos sumandos será sólo el número 25.

Pero, por ser una suma, al elevar al cuadrado sale un tercer sumando, el doble del producto. Y este término no elimina, aparentemente, las raíces. Estudiemos este producto. Podemos pasar el producto dentro de las raíces, donde nos encontramos que se trata de un producto de una suma por una diferencia. Este producto nos proporciona, por tanto, una diferencia de cuadrados. El primer cuadrado es 625/4, y el segundo (una raíz al cuadrado), 625/4 - n. Evidentemente, el resultado es n.

El cuadrado

El cuadrado

Así, el cuadrado de esta expresión queda sorprendente simplificada hasta 25 más el doble de la raíz de n (ver expresión).

Esa expresión debe ser un cuadrado perfecto (el cuadrado de un número entero). Puesto que n es natural, si su raíz no fuese exacta, al multiplicarla por 2 y sumarla a 25 no podría dar un número entero, por lo que n debe ser un cuadrado perfecto. Y el doble de su raíz, sumado a 25, debe ser también un cuadrado perfecto. Además, n está limitado (no debe ser superior a la parte entera de 625/4, 156, ya que el cálculo de la expresión inicial sería imposible).

Veamos qué cuadrados mayores que 25 podemos obtener. El más próximo es 36, pero habría que sumar 11 a 25, y 11 es impar. El siguiente es 49, que obtendríamos de sumar 25 + 24, con lo que n sería 144, el cuadrado de 12. Evidentemente, con 64 tenemos un problema de paridad similar al de 36, y el siguiente, 81, hace que n sea excesivamente grande (81 = 25 + 2*28, y el cuadrado de 28 es mucho mayor que 156). Cuadrados mayores empeoran la situación.

Por tanto, el único resultado viable es n = 144. Podemos comprobar incluso mediante simples operaciones a mano que la expresión inicial es entera (vale 7, como estaba previsto).

Las expresiones usadas para la raíz no incluyen el doble signo, pues entonces podría haber cierta indeterminación en la expresión inicial. El problema sería ligeramente distinto si se tratara de una diferencia.