Cinco esferas tangentes

Enunciado

La primera vez que vi el enunciado me pareció imposible que cinco esferas fueran tangentes cada una de ellas a todas las demás, pero eso fue porque mi mente trataba de verlas como esferas del mismo radio. Voy a intentar explicar cómo romper el bloqueo.

Tres esferas

Piensa primero en tres esferas tangentes cada una de ellas a las otras dos, y del mismo tamaño. Evidentemente, sus centros ocupan los vértices de un triángulo equilátero, y vistas desde arriba respecto al plano que ocupan sus centros, tendrían el aspecto del dibujo.

Una esfera tangente a las tres debería tener su centro en la recta vertical al triángulo que forman sus centros y que pasa por el centro, y tener el tamaño adecuado. Cualquier punto de la recta es válido para centro, pero cada uno proporciona un radio diferente. Sin embargo, es evidente que podemos poner esferas por un lado o por otro del plano, y, si queremos dos que sean iguales, cada una de ellas estará en un lado del plano.

Pero ¡hay más! Deben ser tangentes entre sí, así que la única posibilidad, dada la simetría de la figura, es que su punto de tangencia sea el mismísimo centro del triángulo que forman los centros de las tres esferas primeras.

Otras dos esferas

Esta situación la he pintado en un corte vertical en el dibujo que hay aquí. He dejado sólo las nuevas dos esferas y una de las tres (las otras tres taparían parte del dibujo), de forma que el corte permita ver los puntos de tangencia. Me he tomado la libertad de dibujar la escala real a la que se ve la solución del problema, con lo que apreciamos que las dos bolas iguales son muy pequeñas respecto a las tres del principio.

Para encontrar la proporción entre ambos radios, que es lo que pide el problema, podemos hacer que uno de ellos (por ejemplo, el que es común a las tres primeras bolas) sea 1. El valor del otro será la proporción, pues bastará tomar el primero como unidad de medida. Necesitamos la distancia del centro de la esfera, vértice del triángulo, al centro del triángulo. Como es un triángulo equilátero de lado 2, utilizando razones trigonométricas, o triángulos rectángulos, se puede obtener que esta distancia es 2 por raíz de 3 partido 3.

Todas juntas

Sabiendo el valor de esa distancia, vemos que se puede formar, siguiendo los radios de tangencia y la línea horizontal, un triángulo rectángulo de hipotenusa la suma de los dos radios (1 + r), y de catetos la distancia de centro de la esfera a centro del triángulo, y el radio desconocido (r). Siguiendo el teorema de pitágoras, tenemos que (1 + r)² = d² + r². Como conocemos el valor de d, sabemos que d² vale 4/3, por lo que 1 + 2r + r² = 4/3 + r². Simplificando, 2r = 1/3, es decir, r = 1/6. Es decir, que el radio de las dos esferas es la sexta parte de las tres iniciales.