domingo, 11 de noviembre de 2007

Soluciones discriminadas

Enunciado

Este problema se basa, como muchos otros que incluyen polinomios y sus raíces, en las fórmulas (de Cardano-Vieta) que relacionan las raíces de un polinomio (aquellos valores que hacen que valga 0) con sus coeficientes. Consulta, si no conoces las fórmulas, el problema "Promediando coeficientes".

El caso es que, según sabemos, si las soluciones de una ecuación de segundo grado x2 + px + q = 0 son D y 1 - D, sabemos que p = -(D + (1 - D)) y que q = D(1 - D). El discriminante, D, en una ecuación de segundo grado, es b2 - 4ac, en este caso, D = p2 - 4q.

En resumen, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, p, q y D. Podría ser muy difícil de resolver, pero en este caso, la primera ecuación se queda en p = -1, con lo que una incógnita queda resuelta. La tercera se simplifica a D = 1 - 4q, con lo que podemos substituir dicha variable, que no nos interesa mucho, en la otra, que se transforma en q = (1 - 4q)(1 - (1 - 4q)). Operando con esta ecuación, q = (1 - 4q)4q = 4q - 16q2.

Esta última igualdad es sencilla de transformar en una ecuación de segundo grado, 16q2 - 3q = 0. Nos quedan en este caso dos soluciones, q = 0 y q = 3/16.

Si q = 0, la ecuación inicial es x2 - x = 0 tiene por discriminante 1, y soluciones 1 y 0.

Si q = 3/16, la ecuación se convierte en x2 - x + 3/16 = 0, de discriminante 1/4 y soluciones 1/4 y 3/4.