Consecuencias de una igualdad

Enunciado

La primera intención al ver este tipo de problemas suele ser deducir una fórmula a partir de la otra. El problema es que no es evidente ninguna simplificación que nos lleve de la expresión (a²b²)/(a⁴ - 2b⁴) a (a² - b²)/(a² + b²).

Tampoco podemos "resolver" la ecuación, ya que la igualdad primera tiene dos variables.

En estos casos, yo lo que suelo hacer es darle valores "cómodos" a una de las variables y tratar de generalizar a partir de un caso concreto. Como primer intento, le voy a dar a la variable b el valor 1. La primera igualdad queda como (a²)/(a⁴ - 2) = 1. ¿Qué valores puede tomar a, y cómo se calculan? En primer lugar, debemos quitar denominadores, obteniendo a² = a⁴ - 2, para después pasar los términos al mismo lado de la igualdad, a⁴ - a² - 2 = 0. Esta expresión se puede convertir en una ecuación de segundo grado (es bicuadrada) substituyendo a² por x, de forma que queda x² - x - 2 = 0.

De esta manera, si b = 1, x puede tomar dos valores, (1 + √(1+8))/2 = 4/2 = 2 y (-1 - √(1+8))/2 = -2/2 = -1. Como x es el cuadrado de a, debe ser positivo, por lo que el segundo valor queda descartado.

En este caso, para b = 1, la expresión (a² - b²)/(a² + b²) = (2 - 1)/(2 + 1) = 1/3.

Si probamos con otro valor para b, que no puede ser 0, obtendremos la misma cifra, de forma similar. Seguro que eso nos hace sospechar, así que vamos a intentar seguir el mismo razonamiento sin necesidad de substituir b.

Como (a²b²)/(a⁴ - 2b⁴) = 1, multiplicando por el denominador, que no puede ser nulo, tenemos que a²b² =a⁴ - 2b⁴. Pasamos al mismo miembro y tenemos que a⁴ - a²b² - 2b⁴ = 0. Si substituimos a² por x, la ecuación nos queda x² - b²x - 2b⁴ = 0. Esta igualdad se puede ver como una ecuación de segundo grado en x, de forma que se tiene que x = (b² + √(b⁴ + 8b⁴))/2. Podemos sacar factor común b⁴ dentro de la raíz, y extraerla fuera de la raíz. Evidentemente, la raíz de 9 es 3, con lo que queda (b² + 3b²)/2 = 2b². La otra opción para la fórmula de la ecuación da cómo resultado números negativos, como es fácil comprobar.

Es decir, que a² = 2b². Claro, a partir de aquí, (a² - b²)/(a² + b²) = (2b² - b²)/(2b² + b²) = (b²)/(3b²) = 1/3 (evidentemente, b no puede valer 0). Y esto sucede para cualquier par de valores que cumplan la expresión indicada.

Conociendo la expresión de las raíces de la ecuación, tal vez se pueda dar una demostración más elegante basada en la descomposición de polinomios, pero no lo veo necesario.