A partir de una fecha

Enunciado

Empecemos con el apartado (a).

Si tomamos todas las cifras de la fecha 13/5/2006, ordenadas de forma descendente, tendremos el número 6532100. Si las ordenamos de forma ascendente, el 0012356. La diferencia entre ambas cifras sería 6519744. Al sumar sus cifras proporciona el 6 + 5 + 1 + 9 + 7 + 4 + 4 = 36, y al sumar las de éste, el 9.

Veamos con la fecha de mi nacimiento, 27/5/1965. Ordenadas, 9765521 y 1255679. Restadas, 8509842. Repitiendo la operación suma de las cifras, 8 + 5 + 0 + 9 + 8 + 4 + 2 = 36, que evidentemente lleva al 9 de nuevo.

¿Siempre será igual? La respuesta parece ser afirmativa.

Sumar las cifras es algo que hacemos frecuentemente en un contexto ¿recuerdas cuál?

Supongo que ya te habrás acordado, lo hacemos en el criterio de divisibilidad del 3 y del 9 ¡el 9! ¡Da 9 el resultado! Seguro que algo tiene que ver.

Bueno, vamos a revisar cómo funciona lo de la divisibilidad por 9. Resulta que las cifras de un número representan la cantidad de potencias de 10 que intervienen en un número, es decir, que 342 = 3*10² + 4*10 + 2. Y, claro, resulta que el número anterior a una potencia de 10 siempre es múltiplo de 9, es decir, que 342 = 3*9*11 + 3 + 4*9 + 4 + 2 = 9*(3*11 + 4) + 3 + 4 + 2. En definitiva, que todo número se puede expresar como un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras.

Si ese número es o no divisible por 9, entonces, se sabe por la suma de sus cifras. Pero, claro, si restamos los números que usamos en este problema, convertidos en un múltiplo de 9 más la suma de sus cifras, tenemos que la diferencia entre ambos es igual a un múltiplo de 9, ya que la suma de las cifras que usamos en ambos números son las mismas (y al restarlas se anulan). Por lo tanto, concluímos que la diferencia es, en cualquier caso, un múltiplo de 9. Es decir, que la suma de sus cifras es también un múltiplo de 9, y cuando repetimos una y otra vez el proceso, obtenemos múltiplos de 9. Al final, sólo queda una cifra, que será múltiplo de 9. ¿Puede ser otra que 9? en realidad hay otra cifra múltiplo de 9, el 0, pero sólo se conseguiría si todas las cifras fuesen 0.

En resumidas cuentas, que la única forma de conseguir que no dé 9 como resultado es que tengamos una fecha con todas las cifras iguales. Claro, que eso no pasará hasta el 2 de febrero de 2222.