Un cuadrado con cuatros y ochos

Enunciado

Me ha parecido muy interesante el comentario de Alex en la entrada del enunciado, ya que es un método que no se me había ocurrido.

El método más directo, evidentemente, es empezar a manipular los números más bajos. Para eso, si no te permiten el uso de calculadora, sería bueno recordar el algoritmo de la raíz cuadrada, o bien probar por tanteo (no se tarda mucho en ir obteniendo todas las cifras).

Así, comprobamos que 49 es el cuadrado de 7, 4489 es el cuadrado de 67 y 444889 es el cuadrado de 667. ¿Cómo demostrarlo en el caso general?

Supongamos que no queremos usar la inducción. Entonces, necesitamos estudiar cuánto da el número compuesto de n - 1 seises y un 7 en el último lugar, tanto cuando lo multiplicamos por 6 como cuando lo multiplicamos por 7. Multiplicar por 6 es sencillo. Se obtiene un 2 como última cifra y me llevo 4 decenas. Observa que cada vez que multiplique por 6 da 36, más 4 unidades que me llevo del resultado anterior, por lo que da 40, es decir, un 0 y me llevo 4 unidades. Eso sucederá con los n - 1 6, por lo que tendré un 4, n - 1 ceros y un 2 solitario al final. Multiplicar por 7 es muy similar, y proporciona un 4, n - 1 seises y un 9 al final.

Ahora, hemos de sumar todos los resultados parciales para averiguar qué resultado obtenemos cuando multiplicamos el número compuesto de n - 1 seises y un 7 en el último lugar por sí mismo. Evidentemente, la cifra de las unidades la obtendremos únicamente del producto por 7 y será un 9. Este producto por 7 proporciona n - 1 seises, que se añadirán a todos los 2 que proporcionan los productos por 6, pero no sumarán nada más pues estarán alineados con los n - 1 ceros que proporciona este producto, por lo que obtendremos un 8. A partir de la posición n, obtendremos cuatros, puesto que sumaremos la primera cifra de cada resultado parcial sumada a los ceros que proporcionan los otros, por lo que el resultado será el número pedido (n cuatros, n - 1 ochos y un nueve).

La verdad es que no resulta muy claro expresado así, de forma que lo haré por inducción. Está claro que para pasar de un número compuesto por n - 1 seises y un 7, al siguiente, podemos multiplicarlo por 10 y restarle 3. Se puede deducir que para obtener el valor siguiente, a partir de un número formado por n cuatros, n - 1 ochos y un 9, es necesario multiplicarlo por 100 y restarle un número formado por un 4, n - 1 ceros y dos unos. Si suponemos que para el valor n el cuadrado del número X formado por n - 1 seises y un siete coincide con el número Y formado por n cuatros, n - 1 ochos y un nueve, vemos si sigue dándose esta relación para el número siguiente.

El número siguiente sería 10X - 3, y su cuadrado sería 100X² - 60X + 9, según el cuadrado de la suma. Evidentemente, 100X² es el resultado de multiplicar por 100 el número Y formado por cuatros, ochos y un nueve. Basta entonces ver que 60X - 9 es el número que necesitamos, formado por un 4, n - 1 ceros y dos unos. Evidentemente, 6X es, como hemos visto, un número formado por un 4, n - 1 ceros y un 2, por lo que 60X estará formado por un 4, n - 1 ceros y un 2 y un cero. Restarle 9 es exactamente lo que nos falta para lograr el número que necesitamos.

Si conocemos los símbolos de sumar series (Σ) y que las cifras de un número van en realidad multiplicadas por potencias sucesivas de 10, podríamos dar a las demostraciones mejor apariencia y rigor.