jueves, 18 de febrero de 2010

Pintemos triángulos

Enunciado

Nombrando las zonas

Nombrando las zonas

El problema es más complicado de lo que parece. Para que se entienda mejor, voy a distinguir tres zonas, y voy a marcar cada triángulo con una letra, para ir estudiando por separado varias cosas.

La primera zona la voy a construir con las piezas que en el dibujo llevan las letras A, B y C, y entre los tres forman un cuadrado. Si os dais cuenta, cada uno toca a los otros dos, por lo que tienen que tener colores distintos. Hay seis formas distintas de pintarlos, ya que si empiezas eligiendo el color para C, por ejemplo, tienes tres posibles elecciones, pero entonces A sólo lo puedes pintar de dos formas, porque no puede ser del mismo que C, y B está obligado a tener el color sobrante. Por eso tienes 6 diferentes posibilidades para decorarlo.

La segunda zona está formada por D, E y F. Si suponemos que están pintadas ya las celdas del primer bloque, tenemos un color prohibido para D y otro para E, pero no es el mismo. Así, tenemos las siguientes posibilidades: si D es del mismo color que C, E puede ser del color de B o del color de A, pero seguro que será distinto, por lo que F tendrá que ser del color que A o del de B, es decir, estará obligado y sólo tenemos dos posibilidades. Si D es del color de A, y E también, F puede ser del color de B o de C, así que tenemos otras dos posibilidades, y si D es del color de A y E es del color de B, F tiene que ser del color de C, lo que hace un última posibilidad. De esta forma, tenemos 5 posibilidades de decorar la pieza central, para cada decoración de la otra pieza, lo que hace, de momento, un total de 30 decoraciones distintas.

La última parte es la más sencilla, ya que las piezas G y H son independientes entre sí, y sólo tenemos dos colores para cada una, pues no pueden coincidir con F, así que hay 4 formas diferentes de pintarlas.

En resumen, que tenemos 6·5·4 = 120 posibles decoraciones diferentes de este dibujo con sólo tres colores.

2 comentarios:

Angel1n dijo...

Hola, tengo una pregunta para ti, y tengo algo de prisa... Si puede ser para mañana... Bueno, es un problema de matemáticas.
He estado buscando en tu blog a ver si ya lo habías resuelto y no lo he encontrado, así que ahí va:

Con fichas cuadradas blancas (B) y negras (N) todas iguales, se arman cuadrados como
los que pueden verse en la figura: un cuadrado 1x1 está formado por una ficha N, un
cuadrado 2x2 se forma bordeando el cuadrado anterior con 3 con fichas B, y así
sucesivamente.
Si disponemos de 1000 fichas blancas (B), ¿cuál es el cuadrado más grande que se
puede armar?. ¿Cuántas fichas N se necesitan?

http://www.ieslamarina.org/departamentos/matemat/OlimpiadasyConcursos/LIGA09_10/LRP_09_10_06.pdf

Proble Mático dijo...

No creo que deba darte la solución, porque parece que se trata de una competición de tu centro.

Lo que voy a hacer es darte una pista: Observa que cada bloque de fichas que añades es un número impar... cada vez dos unidades mayor.

Las fichas blancas se van añadiendo como números impares... de 4 en 4.