Un Sangaku

Enunciado

Circunferencia grande

Vamos a dividir el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales, y considerar sólo la circunferencia grande. Si trazamos el radio al punto de tangencia, observaremos que es perpendicular a la hipotenusa del triángulo, y que por lo tanto lo divide en dos triángulos rectángulos que, por tener un ángulo en común cada uno de ellos con el primero, son semejantes a él y entre sí.

De esta manera, si la hipotenusa mide 42 centímetros, el cateto menor mide 21 (por simetría, es la mitad del lado), y el cateto mayor mide (por Pitágoras) 21√3. Y utilizando cualquiera de los dos triángulos menores, sabemos que mide 21*21√(3)/42 = 21√(3)/2, y esa medida es la medida del radio (aproximadamente 18,1865).

Circunferencia mediana

Para hallar la medida de la circunferencia mediana, debemos tener en cuenta que el radio de la circunferencia grande divide en dos al cateto grande, de forma que si trazamos la tangente común a las dos circunferencias, nos queda un triángulo cuyas medidas son exactamente la mitad que el del original, y en el que la circunferencia que nos importa es tangente a la hipotenusa y su centro está sobre el cateto grande.

Este triángulo tiene dividido su cateto más largo, que según sabemos mide 21√(3)/2, en tres partes. Dos de ellas son iguales por ser radios de una circunferencia, y la otra sabemos que, por semejanza a la figura anterior, también es igual a uno de los radios. Por tanto, el radio de la circunferencia es 21√(3)/6, aproximadamente 6,0622.

Circunferencia pequeña

La tercera circunferencia es algo más complicada. De nuevo trazamos una línea tangente a la circunferencia mayor que nos deja un triángulo semejante, pero esta vez el cateto corto mide 21 - 21√(3)/2 = 21*(2 - √(3))/2. Por abreviar, llamemos a esta cantidad C.

La circunferencia de nuevo divide a este lado en tres partes, que ahora claramente no son iguales. Dos de ellas son los radios, pero la otra forma parte de un triángulo rectángulo semejante al mayor. Si llamamos R a ese radio, las medidas de ese triángulo, por semejanza, son dos catetos que miden R y R*√(3)/3 y una hipotenusa que mide 2*R*√(3)/3. Esta hipotenusa, junto con el radio original, forman el cateto de longitud C, es decir, R + 2*R*√(3)/3 = C, luego R*(1 + 2*√(3)/3) = C, de ahí que R = C/(1 + 2*√(3)/3), y racionalizando queda R = C*(2*√(3)-3)/3 = (7*√(3) - 12)/6, si no me equivocado. Aproximadamente vale 0,0207.