Camino de baldosas

Enunciado

Vamos primero con el apartado (a). Si tenemos que usar una única baldosa negra, tendremos que usar cuatro blancas para llenar el camino. La única diferencia entre un embaldosado posible u otro consiste en el lugar donde situamos la baldosa negra, de forma que podemos situarla al principio del camino, al final, o en entre dos de las cuatro baldosas, lo que hace un total de cinco posiciones distintas.

El apartado (b) es bastante más complejo. Puesto que disponemos de tres baldosas negras, tenemos que usar tres baldosas blancas. Si nos fijamos en la situación de las baldosas blancas, podemos numerar los espacios donde pueden ir una o varias baldosas negras del 1 al 4 (como en el apartado (a). Así, si situamos las tres baldosas negras juntas, tendremos 4 formas diferentes de colocarlas. Si situamos dos juntas y una no, tendremos 4 lugares donde colocar la baldosa suelta y tres donde colocar el par de baldosas, es decir, 4*3 = 12 situaciones diferentes, y si colocamos las tres baldosas en sitios diferentes, sólo uno de los espacios queda vacío, por lo que hay cuatro formas de situarlas. En total hay 4 + 12 + 4 = 20 formas diferentes.

El apartado (c) necesita situar 5 baldosas negras y por tanto dos blancas. En esta ocasión resulta más cómodo estudiar dónde ponemos las blancas, porque son menos. Disponemos de 6 lugares en relación a las baldosas negras, principio, final y las cuatro situaciones intermedias. Si situamos las baldosas blancas juntas tendremos entonces 6 posiciones. si las situamos separadas, utilizamos una estrategia similar a la del apartado anterior, ya que tendremos 6*5 = 30 formas, pero estarán repetidas por parejas que resultan idénticas, de forma que sólo encontraremos 15 diferentes. En total, hay 15 + 6 = 21 formas distintas.