Sumar infinidad de áreas

Enunciado

Cadena de circunferencias

Si intentas dibujar la situación, rápidamente te das cuenta de que hay una relación geométrica (una semejanza) entre cada circunferencia y la anterior, es decir, que hay una escala que transforma cada circunferencia en la siguiente. Eso significa que el área de cada círculo es igual a la del anterior por una constante (la escala al cuadrado), por lo que se trata de una suma de una progresión geométrica de razón menor que uno, y por lo tanto sabemos que, una vez hallemos la razón r, la suma de todas las áreas será A/(1-r²), donde A es el área del primer círculo.

Así que enfocamos todo el esfuerzo a calcular la razón de la progresión en función de r₁ y d₁.

Si nos fijamos sólo en las dos circunferencias primeras, está claro que r₂ = r*r₁. Pero, por otra parte, puesto que el triángulo rectángulo que forma el radio a la tangencia y el punto O también es semejante, y con la misma escala, tenemos que su hipotenusa es d₁ - (r₁ + r₂) = r*d₁. De estas dos igualdades, tenemos que d₁ - r₁ = rd₁ + rr₁, y sacando factor común, tenemos que r = (d₁ - r₁)/(d₁ + r₁).

En realidad a nosotros nos sirve más 1 - r², que vale 4d₁r₁/(d₁ + r₁)².

Como,por otra parte, se tiene que el área del primer círculo es πr₁², tenemos que la suma de todas esas áreas es πr₁²(d₁ + r₁)²/(4d₁r₁) = πr₁(d₁ + r₁)²/(4d₁).