domingo, 25 de septiembre de 2011

Sumar infinidad de áreas

Enunciado

Cadena de circunferencias

Cadena de circunferencias

Si intentas dibujar la situación, rápidamente te das cuenta de que hay una relación geométrica (una semejanza) entre cada circunferencia y la anterior, es decir, que hay una escala que transforma cada circunferencia en la siguiente. Eso significa que el área de cada círculo es igual a la del anterior por una constante (la escala al cuadrado), por lo que se trata de una suma de una progresión geométrica de razón menor que uno, y por lo tanto sabemos que, una vez hallemos la razón r, la suma de todas las áreas será A/(1-r2), donde A es el área del primer círculo.

Así que enfocamos todo el esfuerzo a calcular la razón de la progresión en función de r1 y d1.

Si nos fijamos sólo en las dos circunferencias primeras, está claro que r2 = r*r1. Pero, por otra parte, puesto que el triángulo rectángulo que forma el radio a la tangencia y el punto O también es semejante, y con la misma escala, tenemos que su hipotenusa es d1 - (r1 + r2) = r*d1. De estas dos igualdades, tenemos que d1 - r1 = rd1 + rr1, y sacando factor común, tenemos que r = (d1 - r1)/(d1 + r1).

En realidad a nosotros nos sirve más 1 - r2, que vale 4d1r1/(d1 + r1)2.

Como,por otra parte, se tiene que el área del primer círculo es πr12, tenemos que la suma de todas esas áreas es πr12(d1 + r1)2/(4d1r1) = πr1(d1 + r1)2/(4d1).


No hay comentarios: