Sumando y restando cuadrados
Hay muchas formas de proceder en este problema, casi todas tratan de agrupar por diferencias los cuadrados, para que sea más sencillo sumar esta larga lista.
El más directo me ha parecido escoger los cuadrados de dos en dos, empezando por los menores. En realidad la primera pareja sería 12 - 02, para que haya una cantidad par, y el resultado sería 1. La segunda pareja sería 32 - 22, y sería 5. La tercera pareja, 52 - 42 tendría 9 como resultado. ¿Será esa la expresión, reducirlo a una sucesión que salta de cuatro en cuatro? En realidad basta observar que cada pareja se puede expresar como (2n+1)2 - (2n)2, que desarrollando queda 4n + 1. Luego en realidad se trata de una suma de 1006 términos de una progresión aritmética, es decir, que avanzan de 4 en 4. Como muchos supondréis, basta escogerlos por parejas desde los extremos (primero con último, segundo con penúltimo, etcétera) y la suma será constante, 4022. Así que la suma será 503 veces 4022, es decir, 2023066.
Otra forma de sumarlo, más rápida, sería la que propone uno de los que comenta en el blog, basándose en la diferencia de cuadrados: a² - b² = (a+b)(a-b). Luego 2011²-2010²=(2011+2010)(2011-2010)=2011+2010 y de forma similar 2009²-2008²=(2009+2008)*(2009-2008), etcétera, hasta que 3²-2²=3+2. Entonces la suma es igual a 1+2+3+4+...2010+2011 = 2011*2012/2 = 2023066 (esta última suma se puede razonar de forma similar).
2 comentarios:
por que se multiplica por 503 veces??
Porque se ha formado 1005 parejas (2011^2 -2010^2, 2009^2-2008^2, ... , 3^2-2^2, 1^2-0^2) y se han tomado las parejas de dos en dos (la primera con la ultima, la segunda con la penultima, etc.) Y se han sumado (cuya suma da 4022) asi hay 503 sumas (la mitad de la cantidad de parejas)
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